Buktikan dengan induksi matematika pernyataan matematis

Terbukti benar untuk n=1, diasumsikan benar untuk k, dan dibuktikan benar untuk k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan matematis (n + 4)^2 >= 5(2n+3) dengan induksi matematika, kita perlu melalui tiga langkah:

1.  **Basis Induksi:** Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk nilai n = 1.
    (1 + 4)^2 = 5^2 = 25
    5(2(1)+3) = 5(2+3) = 5(5) = 25
    Karena 25 >= 25, pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

2.  **Hipotesis Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu (k + 4)^2 >= 5(2k+3).

3.  **Langkah Induksi:** Tunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk k + 1.
    Kita perlu membuktikan bahwa ((k + 1) + 4)^2 >= 5(2(k + 1)+3).
    (k + 5)^2 >= 5(2k + 2 + 3)
    (k + 5)^2 >= 5(2k + 5)
    k^2 + 10k + 25 >= 10k + 25
    k^2 >= 0
    Karena k adalah bilangan asli, k^2 selalu lebih besar dari atau sama dengan 0. Jadi, langkah induksi terpenuhi.

Kesimpulan: Dengan induksi matematika, terbukti bahwa (n + 4)^2 >= 5(2n+3) untuk setiap bilangan asli n.