Diketahui segi enam beraturan ABCDEF. Jika AB=u dan AF=v,

AB+AC+AD+AE+AF = 3u + 3v

Pembahasan

Diketahui segi enam beraturan ABCDEF dengan AB = u dan AF = v. Kita perlu menentukan AB + AC + AD + AE + AF dalam vektor u dan vektor v.

Dalam segi enam beraturan:
- AB = u
- AF = v
- AC = AB + BC. Karena segi enam beraturan, panjang BC sama dengan AB (u), dan arahnya membentuk sudut 60 derajat dengan AB. Menggunakan aturan jajaran genjang atau dekomposisi vektor, AC = u + v (jika diasumsikan sudut antara u dan v adalah 120 derajat, namun lebih tepatnya AC = u + (u dengan sudut 60 derajat terhadap u)). Namun, jika kita melihat dari pusat segi enam, vektor AC dapat dinyatakan dalam komponen u dan v. Cara yang lebih mudah adalah dengan melihat simetri.
- AD adalah diagonal terpanjang, yang sama dengan 2 * panjang sisi = 2u (jika AB adalah sisi). Atau, AD = AB + BC + CD. AD = 2 * AB = 2u.
- AE = AF + FE. FE = -AB = -u. AE = v - u.
- AF = v

Mari kita gunakan vektor posisi dari titik A.
AB = u
AF = v

Untuk segi enam beraturan, vektor diagonal seperti AC, AD, AE dapat dihubungkan dengan sisi-sisi yang diketahui.
Jika kita menganggap A sebagai titik asal:
AB = u
AF = v
Karena ini adalah segi enam beraturan, panjang semua sisi adalah sama, yaitu |u|.
Sudut antara sisi yang berdekatan adalah 120 derajat.

AC = AB + BC. Vektor BC memiliki panjang |u| dan arah yang membentuk sudut 120 derajat dengan AB. 
AD = AB + BC + CD. Vektor CD memiliki panjang |u| dan arah yang membentuk sudut 240 derajat dengan AB (atau 120 derajat dari BC).
AE = AF + FE. Vektor FE memiliki panjang |u| dan arah yang berlawanan dengan AB, jadi FE = -u.

Cara yang lebih sistematis adalah dengan menguraikan vektor:
Misalkan A=(0,0).
Jika AB = u, maka B ada di suatu tempat.
Jika AF = v.
Dalam segi enam beraturan, jika AB = u, maka panjang sisi adalah |u|. 
AD = 2 * AB = 2u (karena AD adalah diagonal yang melewati pusat).
Untuk AC: AC = AB + BC. Vektor BC sama dengan AF (v) dalam panjang dan arah jika kita geser. Atau, AC = AB + (vektor dari B ke C). Vektor BC adalah vektor dengan panjang |u| dan sudut 120 derajat terhadap u.
AE = AF + FE. Vektor FE = -AB = -u.

Mari kita gunakan properti simetri segi enam beraturan.
AB + AF = vektor ke arah pusat jika A adalah sudut. Namun, ini tidak membantu secara langsung.

Jika kita melihat vektor:
AB = u
AF = v

Dalam segi enam beraturan, AD = 2 * AB = 2u.
AC = AB + BC. BC = AF (jika segi enamnya berpusat di O, maka OB = OC, dll.). Vektor BC sejajar dengan AF. Jadi AC = u + v.
AE = AF + FE. FE = -AB = -u. Jadi AE = v - u.

Jumlahnya adalah:
AB + AC + AD + AE + AF
= u + (u + v) + 2u + (v - u) + v
= u + u + v + 2u + v - u + v
= (1 + 1 + 2 - 1)u + (1 + 1 + 1)v
= 3u + 3v

Periksa kembali:
Misalkan titik pusat segi enam O. OA, OB, ..., OF adalah vektor jari-jari.
Dalam segi enam beraturan:
AD = AO + OD = 2 * AO (jika O adalah pusat dan A, O, D segaris).
Jika AB = u, AF = v.
AD = 2u
AC = AB + BC. Vektor BC = AF = v. Maka AC = u + v.
AE = AF + FE. Vektor FE = -AB = -u. Maka AE = v - u.

Jadi, AB + AC + AD + AE + AF = u + (u + v) + 2u + (v - u) + v = 3u + 3v.