Diketahui segitiga ABC dengan A(1,1,2), B(4,2,-3) , dan

Proyeksi vektor ortogonal dari AB pada AC adalah (-1, 2, -2).

Pembahasan

Untuk menentukan proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\vec{AB}$ pada vektor $\vec{AC}$, kita perlu menghitung vektor $\vec{AB}$ dan $\vec{AC}$ terlebih dahulu, lalu menggunakan rumus proyeksi.

Diberikan titik A(1,1,2), B(4,2,-3), dan C(0,3,0).

Vektor $\vec{AB}$ dihitung dengan mengurangkan koordinat B dengan koordinat A:
$\vec{AB} = B - A = (4-1, 2-1, -3-2) = (3, 1, -5)$

Vektor $\vec{AC}$ dihitung dengan mengurangkan koordinat C dengan koordinat A:
$\vec{AC} = C - A = (0-1, 3-1, 0-2) = (-1, 2, -2)$

Rumus proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\vec{u}$ pada vektor $\vec{v}$ adalah:
$proj_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}$

Dalam kasus ini, $\vec{u} = \vec{AB}$ dan $\vec{v} = \vec{AC}$.

Hitung hasil kali titik (dot product) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3)(-1) + (1)(2) + (-5)(-2) = -3 + 2 + 10 = 9$

Hitung kuadrat dari panjang vektor $\vec{AC}$, yaitu $\|\vec{AC}\|^2$:
$\vec{AC} = (-1, 2, -2)$
$\|\vec{AC}\|^2 = (-1)^2 + (2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$

Sekarang, masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus proyeksi:
$proj_{\vec{AC}} \vec{AB} = \frac{9}{9} \vec{AC} = 1 \times \vec{AC} = \vec{AC}$

Jadi, proyeksi vektor ortogonal dari $\vec{AB}$ pada $\vec{AC}$ adalah vektor $\vec{AC}$ itu sendiri, yaitu $(-1, 2, -2)$.