Diketahui segitiga ABC dengan panjang rusuk a, b,dan c

13/14

Pembahasan

Untuk menghitung nilai cos A pada segitiga ABC, kita dapat menggunakan aturan kosinus. Aturan kosinus menyatakan bahwa untuk setiap sisi segitiga, kuadrat panjang sisi tersebut sama dengan jumlah kuadrat panjang dua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali panjang kedua sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara mereka.

Rumusnya adalah:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos B
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C

Dari rumus pertama, kita dapat mencari cos A:
cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

Diketahui perbandingan panjang rusuk:
(a+b):(c+a):(c+b) = 4:5:6

Misalkan:
a+b = 4k
c+a = 5k
c+b = 6k

Kita perlu mencari nilai a, b, dan c dalam k.
Jumlahkan ketiga persamaan tersebut:
(a+b) + (c+a) + (c+b) = 4k + 5k + 6k
2a + 2b + 2c = 15k
2(a+b+c) = 15k
a+b+c = 15k/2

Sekarang kita dapat mencari nilai a, b, dan c:
Untuk mencari a, kurangkan persamaan (c+b) dari (a+b+c):
(a+b+c) - (c+b) = 15k/2 - 6k
a = 15k/2 - 12k/2
a = 3k/2

Untuk mencari b, kurangkan persamaan (c+a) dari (a+b+c):
(a+b+c) - (c+a) = 15k/2 - 5k
b = 15k/2 - 10k/2
b = 5k/2

Untuk mencari c, kurangkan persamaan (a+b) dari (a+b+c):
(a+b+c) - (a+b) = 15k/2 - 4k
c = 15k/2 - 8k/2
c = 7k/2

Sekarang kita substitusikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus cos A:
cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

a = 3k/2 => a^2 = (9k^2)/4
b = 5k/2 => b^2 = (25k^2)/4
c = 7k/2 => c^2 = (49k^2)/4

cos A = [ (25k^2)/4 + (49k^2)/4 - (9k^2)/4 ] / [ 2 * (5k/2) * (7k/2) ]

Sederhanakan pembilang:
(25k^2 + 49k^2 - 9k^2) / 4 = (74k^2 - 9k^2) / 4 = 65k^2 / 4

Sederhanakan penyebut:
2 * (5k/2) * (7k/2) = 2 * (35k^2 / 4) = 70k^2 / 4 = 35k^2 / 2

Sekarang hitung cos A:
cos A = (65k^2 / 4) / (35k^2 / 2)

Untuk membagi pecahan, kalikan dengan kebalikannya:
cos A = (65k^2 / 4) * (2 / 35k^2)

Batalkan k^2:
cos A = (65 / 4) * (2 / 35)

Sederhanakan:
cos A = (65 * 2) / (4 * 35)
cos A = 130 / 140

Sederhanakan pecahan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 10:
cos A = 13 / 14