Diketahui sistem persamaan: 8a-4b-2c=8 a/3-2b/3+c/2=-1

Nilai a²+b²+c² adalah 21.

Pembahasan

Soal ini adalah tentang menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Kita perlu mencari nilai a, b, dan c terlebih dahulu, baru kemudian menghitung a² + b² + c².

Sistem persamaan yang diberikan:
1) 8a - 4b - 2c = 8
2) a/3 - 2b/3 + c/2 = -1
3) -6a + 3b = 4c + 16

Mari kita sederhanakan persamaan-persamaan tersebut:
Dari (1), bagi dengan 2: 4a - 2b - c = 4  (Persamaan 1')
Dari (2), kalikan dengan 6 (KPK dari 3, 3, 2) untuk menghilangkan pecahan: 2a - 4b + 3c = -6 (Persamaan 2')
Dari (3), pindahkan 4c ke kiri: -6a + 3b - 4c = 16 (Persamaan 3')

Sekarang kita punya sistem persamaan yang lebih sederhana:
1') 4a - 2b - c = 4
2') 2a - 4b + 3c = -6
3') -6a + 3b - 4c = 16

Kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan eliminasi.

Eliminasi c dari Persamaan 1' dan 2':
Kalikan Persamaan 1' dengan 3: 12a - 6b - 3c = 12
Jumlahkan dengan Persamaan 2':
  (12a - 6b - 3c) + (2a - 4b + 3c) = 12 + (-6)
  14a - 10b = 6
  Bagi dengan 2: 7a - 5b = 3 (Persamaan 4)

Eliminasi c dari Persamaan 1' dan 3':
Kalikan Persamaan 1' dengan 4: 16a - 8b - 4c = 16
Kurangkan dengan Persamaan 3':
  (16a - 8b - 4c) - (-6a + 3b - 4c) = 16 - 16
  16a - 8b - 4c + 6a - 3b + 4c = 0
  22a - 11b = 0
  Bagi dengan 11: 2a - b = 0  => b = 2a (Persamaan 5)

Sekarang substitusikan Persamaan 5 (b = 2a) ke Persamaan 4:
7a - 5(2a) = 3
7a - 10a = 3
-3a = 3
a = -1

Sekarang cari nilai b menggunakan Persamaan 5:
b = 2a = 2(-1) = -2

Terakhir, cari nilai c menggunakan Persamaan 1':
4a - 2b - c = 4
4(-1) - 2(-2) - c = 4
-4 + 4 - c = 4
-c = 4
c = -4

Jadi, nilai a = -1, b = -2, dan c = -4.

Sekarang hitung a² + b² + c²:
a² + b² + c² = (-1)² + (-2)² + (-4)²
             = 1 + 4 + 16
             = 21

Jadi, nilai a² + b² + c² adalah 21.