Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(5,1,5),

a. AB=AC=sqrt(89), segitiga sama kaki. b. D(4,3,2). c. AD^2+DC^2=AC^2, segitiga siku-siku di D. d. Luas ABC = 5*sqrt(42), Luas ADC = 5/2*sqrt(42).

Pembahasan

a. Untuk menunjukkan bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama kaki, kita perlu menghitung panjang ketiga sisinya (AB, BC, dan AC) menggunakan rumus jarak antara dua titik dalam ruang tiga dimensi: Jarak = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2).
Panjang AB = sqrt((11-5)^2 + (8-1)^2 + (3-5)^2) = sqrt(6^2 + 7^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 49 + 4) = sqrt(89).
Panjang BC = sqrt((-3-11)^2 + (-2-8)^2 + (1-3)^2) = sqrt((-14)^2 + (-10)^2 + (-2)^2) = sqrt(196 + 100 + 4) = sqrt(300).
Panjang AC = sqrt((-3-5)^2 + (-2-1)^2 + (1-5)^2) = sqrt((-8)^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = sqrt(64 + 9 + 16) = sqrt(89).
Karena panjang AB = panjang AC, maka segitiga ABC adalah segitiga sama kaki.
b. Titik tengah sisi BC, D, dihitung dengan rumus: D = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2).
D = ((11 + (-3))/2, (8 + (-2))/2, (3 + 1)/2) = (8/2, 6/2, 4/2) = (4, 3, 2).
Jadi, koordinat titik D adalah (4, 3, 2).
c. Untuk menunjukkan bahwa segitiga ADC adalah segitiga siku-siku di D, kita perlu memeriksa apakah kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya (Teorema Pythagoras).
Panjang AD = sqrt((4-5)^2 + (3-1)^2 + (2-5)^2) = sqrt((-1)^2 + 2^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14).
Panjang DC = sqrt((-3-4)^2 + (-2-3)^2 + (1-2)^2) = sqrt((-7)^2 + (-5)^2 + (-1)^2) = sqrt(49 + 25 + 1) = sqrt(75).
Panjang AC = sqrt(89) (dihitung di bagian a).
Periksa Teorema Pythagoras: AD^2 + DC^2 = (sqrt(14))^2 + (sqrt(75))^2 = 14 + 75 = 89. AC^2 = (sqrt(89))^2 = 89.
Karena AD^2 + DC^2 = AC^2, maka segitiga ADC adalah segitiga siku-siku di D.
d. Luas segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi. Kita bisa menggunakan BC sebagai alas, tetapi perlu mencari tingginya. Alternatif lain, karena ini segitiga sama kaki, kita bisa menggunakan AD sebagai tinggi jika kita memproyeksikan A ke BC. Namun, karena kita sudah membuktikan ADC siku-siku di D, kita bisa menghitung luas ABC dengan menjumlahkan luas ABD dan ADC. Karena segitiga ABC sama kaki dengan AB=AC dan D adalah titik tengah BC, maka AD tegak lurus BC. Jadi AD adalah tinggi segitiga ABC.
Luas segitiga ABC = 1/2 * BC * AD = 1/2 * sqrt(300) * sqrt(14) = 1/2 * sqrt(4200) = 1/2 * 10 * sqrt(42) = 5 * sqrt(42).
Luas segitiga ADC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AD * DC = 1/2 * sqrt(14) * sqrt(75) = 1/2 * sqrt(1050) = 1/2 * 5 * sqrt(42) = 5/2 * sqrt(42).