Diketahui sin a=4/5 dan tan b=5/12, dengan 0 < a < pi/2 dan

a. 24/25, b. 119/169, c. -24/7, d. 253/325, e. -123/845

Pembahasan

Diberikan sin a = 4/5 dan tan b = 5/12, dengan 0 < a < pi/2 dan 0 < b < pi/2.

Untuk menghitung nilai-nilai trigonometri yang diminta, kita perlu mencari nilai cos a, sin b, cos b, tan a, dan tan 2b terlebih dahulu.

Dari sin a = 4/5 (kuadran I), kita dapat mencari cos a menggunakan identitas sin^2 a + cos^2 a = 1. cos^2 a = 1 - (4/5)^2 = 1 - 16/25 = 9/25, sehingga cos a = 3/5 (karena di kuadran I, cos positif).

Dari tan b = 5/12 (kuadran I), kita bisa membentuk segitiga siku-siku dengan sisi depan 5 dan sisi samping 12. Sisi miringnya adalah akar dari (5^2 + 12^2) = akar dari (25 + 144) = akar dari 169 = 13. Maka, sin b = 5/13 dan cos b = 12/13.

Sekarang kita bisa menghitung:
a. sin 2a = 2 sin a cos a = 2 * (4/5) * (3/5) = 24/25
b. cos 2b = cos^2 b - sin^2 b = (12/13)^2 - (5/13)^2 = 144/169 - 25/169 = 119/169
c. tan 2a = (2 tan a) / (1 - tan^2 a). Pertama, tan a = sin a / cos a = (4/5) / (3/5) = 4/3. Maka, tan 2a = (2 * 4/3) / (1 - (4/3)^2) = (8/3) / (1 - 16/9) = (8/3) / (-7/9) = (8/3) * (-9/7) = -24/7
d. sin (2a + b) = sin 2a cos b + cos 2a sin b. Kita perlu cos 2a. cos 2a = cos^2 a - sin^2 a = (3/5)^2 - (4/5)^2 = 9/25 - 16/25 = -7/25. Maka, sin (2a + b) = (24/25) * (12/13) + (-7/25) * (5/13) = 288/325 - 35/325 = 253/325
e. cos (a + 2b) = cos a cos 2b - sin a sin 2b. Kita perlu sin 2b. sin 2b = 2 sin b cos b = 2 * (5/13) * (12/13) = 120/169. Maka, cos (a + 2b) = (3/5) * (119/169) - (4/5) * (120/169) = 357/845 - 480/845 = -123/845