Tunjukkan bahwa 2 log3 x 3 log4 x 4 log5 x 5 log 6 x ... x

Dengan menggunakan sifat perubahan basis logaritma, $$ \log_2 3 \times \log_3 4 \times \dots \times \log_{1023} 1024 = \log_2 1024 = 10 $$.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa $$ \log_3 2 \times \log_4 3 \times \log_5 4 \times \log_6 5 \times \dots \times \log_{1023} 1022 \times \log_{1024} 1023 = 10 $$, kita akan menggunakan sifat perubahan basis logaritma. Sifat perubahan basis menyatakan bahwa $$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$ untuk setiap basis $$c$$ yang valid. Pilihan basis yang paling umum adalah basis 10 atau basis $$e$$ (logaritma natural), tetapi kita juga bisa menggunakan basis lain. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan sifat $$ \log_b a \cdot \log_c b = \log_c a $$. Sifat ini dapat diturunkan dari perubahan basis: $$\log_b a \cdot \log_c b = \frac{\log a}{\log b} \cdot \frac{\log b}{\log c} = \frac{\log a}{\log c} = \log_c a$$.

Mari kita lihat deret perkalian logaritma tersebut:
$$ \log_3 2 \times \log_4 3 \times \log_5 4 \times \log_6 5 \times \dots \times \log_{1023} 1022 \times \log_{1024} 1023 $$ 

Kita bisa mengelompokkan perkalian berpasangan:

*   $$(\log_3 2 \times \log_4 3)$$ menggunakan sifat $$\log_b a \cdot \log_c b = \log_c a$$, menjadi $$\log_4 2$$.
*   $$(\log_5 4 \times \log_6 5)$$ menjadi $$\log_6 4$$.
*   $$(\log_{1023} 1022 \times \log_{1024} 1023)$$ menjadi $$\log_{1024} 1022$$.

Jika kita terapkan sifat ini secara berurutan pada seluruh deret, kita akan mendapatkan:

$$(\log_3 2 \times \log_4 3) \times (\log_5 4 \times \log_6 5) \times \dots \times (\log_{1023} 1022 \times \log_{1024} 1023)$$

Ini akan menjadi:

$$ \log_4 2 \times \log_6 4 \times \log_7 5 \times \dots \times \log_{1024} 1022 $$ 

Namun, cara yang lebih efisien adalah dengan mengubah semua logaritma ke satu basis (misalnya, basis 10 atau basis $$e$$) menggunakan sifat perubahan basis $$\log_b a = \frac{\log a}{\log b}$$:

$$ \frac{\log 2}{\log 3} \times \frac{\log 3}{\log 4} \times \frac{\log 4}{\log 5} \times \frac{\log 5}{\log 6} \times \dots \times \frac{\log 1022}{\log 1023} \times \frac{\log 1023}{\log 1024} $$ 

Perhatikan bahwa banyak suku yang saling menghilangkan (telescoping product):
*   $\log 3$ di penyebut suku pertama hilang dengan $\log 3$ di pembilang suku kedua.
*   $\log 4$ di penyebut suku kedua hilang dengan $\log 4$ di pembilang suku ketiga.
*   Ini berlanjut hingga $\log 1023$ di penyebut suku sebelum terakhir hilang dengan $\log 1023$ di pembilang suku terakhir.

Setelah semua pembatalan terjadi, yang tersisa adalah:

$$ \frac{\log 2}{\log 1024} $$ 

Sekarang, kita perlu menyederhanakan $$\frac{\log 2}{\log 1024}$$ menggunakan sifat logaritma kembali ke bentuk logaritma tunggal, yaitu $$\log_{1024} 2$$.

Kita tahu bahwa $$1024 = 2^{10}$$.

Maka, kita bisa tulis $$\log_{1024} 2$$ sebagai:

$$ \log_{2^{10}} 2 $$

Menggunakan sifat logaritma $$\log_{b^n} a = \frac{1}{n} \log_b a$$, kita dapatkan:

$$ \frac{1}{10} \log_2 2 $$

Karena $$\log_2 2 = 1$$, maka hasilnya adalah:

$$ \frac{1}{10} \times 1 = \frac{1}{10} $$ 

Ada kesalahan dalam pernyataan soal atau dalam perhitungan saya. Mari kita periksa kembali sifat yang digunakan. Sifat yang benar adalah $$\log_b a \cdot \log_c b = \log_c a$$. 

Mari kita terapkan sifat ini dengan benar:
$$ \log_3 2 \times \log_4 3 = \log_4 2 $$ 
$$ \log_4 2 \times \log_5 4 = \log_5 2 $$ 
$$ \log_5 2 \times \log_6 5 = \log_6 2 $$ 

Jika kita teruskan pola ini, maka:
$$ \log_3 2 \times \log_4 3 \times \log_5 4 \times \dots \times \log_{1023} 1022 \times \log_{1024} 1023 $$ 

akan menghasilkan:

$$ \log_{1024} 2 $$ 

Seperti yang kita hitung sebelumnya, $$\log_{1024} 2 = \frac{1}{10}$$.

Namun, soal meminta untuk menunjukkan bahwa hasilnya adalah 10. Ini berarti ada kemungkinan urutan perkaliannya terbalik atau ada kesalahan penulisan pada soalnya. Jika soalnya adalah $$\log_2 3 \times \log_3 4 \times \log_4 5 \times \dots \times \log_{1023} 1024$$, maka:

$$ \frac{\log 3}{\log 2} \times \frac{\log 4}{\log 3} \times \frac{\log 5}{\log 4} \times \dots \times \frac{\log 1024}{\log 1023} $$ 

Ini akan menghasilkan $$\frac{\log 1024}{\log 2} = \log_2 1024$$.

Karena $$1024 = 2^{10}$$, maka $$\log_2 1024 = \log_2 2^{10} = 10 \log_2 2 = 10 \times 1 = 10$$.

Dengan asumsi bahwa soal yang dimaksud adalah $$\log_2 3 \times \log_3 4 \times \log_4 5 \times \dots \times \log_{1023} 1024$$, maka terbukti bahwa hasilnya adalah 10.