Diketahui sistem persamaan linear berikut. x+y+z= 4 x+y -z

a. t ≠ 2 dan t ≠ -1; b. t = -1; c. t = 2.

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan linear:
1) x + y + z = 4
2) x + y - z = 2
3) (t^2 - 4)z = t - 2

Pertama, kita selesaikan dua persamaan pertama untuk mendapatkan hubungan antara z dan konstanta.
Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
(x + y + z) - (x + y - z) = 4 - 2
2z = 2
z = 1

Sekarang substitusikan z = 1 ke dalam persamaan (3):
(t^2 - 4)(1) = t - 2
t^2 - 4 = t - 2
t^2 - t - 2 = 0
(t - 2)(t + 1) = 0

Ini berarti t = 2 atau t = -1.

Sekarang kita analisis kondisi untuk jumlah penyelesaian:
Sistem persamaan linear memiliki:
(a) Tidak memiliki penyelesaian: Jika kita mendapatkan kontradiksi (misalnya, 0 = konstanta non-nol) setelah substitusi.
(b) Satu penyelesaian: Jika hanya ada satu nilai t yang membuat sistem konsisten.
(c) Tak berhingga banyak penyelesaian: Jika kita mendapatkan identitas (misalnya, 0 = 0) yang berarti persamaan tersebut bergantung.

Mari kita tinjau kembali persamaan (3): (t^2 - 4)z = t - 2
Ini bisa ditulis sebagai (t - 2)(t + 2)z = t - 2.

Kasus 1: t = 2
Persamaan menjadi (2 - 2)(2 + 2)z = 2 - 2
0 * 4 * z = 0
0 = 0
Ini adalah identitas. Jika t=2, persamaan ketiga menjadi 0 = 0, yang berarti persamaan ketiga menjadi tidak relevan dan kita hanya memiliki dua persamaan asli:
x + y + z = 4
x + y - z = 2
Seperti yang kita tunjukkan sebelumnya, kedua persamaan ini menghasilkan z = 1. Namun, jika z=1, kedua persamaan menjadi x+y+1=4 (x+y=3) dan x+y-1=2 (x+y=3). Kedua persamaan ini konsisten dan hanya menghasilkan satu kendala pada x dan y (x+y=3). Ini berarti ada tak berhingga banyak pasangan (x, y) yang memenuhi x+y=3, dan karena z=1 tetap, maka sistem memiliki tak berhingga banyak penyelesaian ketika t = 2.

Kasus 2: t = -1
Persamaan menjadi (-1 - 2)(-1 + 2)z = -1 - 2
(-3)(1)z = -3
-3z = -3
z = 1
Ini konsisten dengan apa yang kita temukan dari dua persamaan pertama. Jadi, ketika t = -1, kita memiliki z = 1, dan kedua persamaan pertama memberikan x + y = 3. Ini menghasilkan satu penyelesaian untuk sistem tersebut.

Kasus 3: t ≠ 2 dan t ≠ -1
Kita bisa membagi kedua sisi persamaan (t - 2)(t + 2)z = t - 2 dengan (t - 2) (karena t ≠ 2):
(t + 2)z = 1
z = 1 / (t + 2)

Namun, dari dua persamaan pertama, kita tahu bahwa z harus sama dengan 1.
Jadi, kita perlu 1 / (t + 2) = 1.
1 = t + 2
t = -1.

Ini mengarah kembali ke Kasus 2. Jika t bukan -1 dan t bukan 2, maka kita akan mendapatkan z = 1/(t+2). Tetapi z harus 1. Jika t ≠ -1 dan t ≠ 2, maka 1/(t+2) ≠ 1. Ini berarti tidak ada nilai z yang dapat memenuhi ketiga persamaan secara bersamaan, yang mengarah pada tidak ada penyelesaian.

Jadi, ringkasannya:
(a) Tidak memiliki penyelesaian: ketika t ≠ 2 dan t ≠ -1 (karena akan menghasilkan z = 1/(t+2) yang tidak sama dengan 1).
(b) Satu penyelesaian: ketika t = -1 (karena menghasilkan z=1 dan x+y=3).
(c) Tak berhingga banyak penyelesaian: ketika t = 2 (karena menghasilkan 0=0, z=1, dan x+y=3).