Diketahui sistem persamaan sin(x+y)=1+1/5 cos(y)

3/5

Pembahasan

Diberikan sistem persamaan:
1. sin(x+y) = 1 + 1/5 cos(y)
2. sin(x-y) = -1 + cos(y)
Dengan $0 < y < \pi/2$.

Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menjumlahkan dan mengurangkan kedua persamaan tersebut.

Jumlahkan kedua persamaan:
sin(x+y) + sin(x-y) = (1 + 1/5 cos(y)) + (-1 + cos(y))
Menggunakan identitas $sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)$:
$2 sin((x+y+x-y)/2) cos((x+y-(x-y))/2) = 1/5 cos(y) + cos(y)$
$2 sin(x) cos(y) = (1/5 + 1) cos(y)$
$2 sin(x) cos(y) = (6/5) cos(y)$

Karena $0 < y < \pi/2$, maka $cos(y) \neq 0$. Kita bisa membagi kedua sisi dengan $cos(y)$:
$2 sin(x) = 6/5$
$sin(x) = (6/5) / 2$
$sin(x) = 6/10$
$sin(x) = 3/5$

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
sin(x+y) - sin(x-y) = (1 + 1/5 cos(y)) - (-1 + cos(y))
Menggunakan identitas $sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)$:
$2 cos((x+y+x-y)/2) sin((x+y-(x-y))/2) = 1 + 1/5 cos(y) + 1 - cos(y)$
$2 cos(x) sin(y) = 2 - 4/5 cos(y)$

Dari hasil $sin(x) = 3/5$, kita dapat mencari $cos(x)$. Karena tidak ada batasan untuk x, $cos(x)$ bisa positif atau negatif. Namun, biasanya dalam soal semacam ini, jika tidak disebutkan secara spesifik, kita mengasumsikan nilai prinsipal atau konteks yang lebih umum.
Jika $sin(x) = 3/5$, maka menggunakan identitas $sin^2 x + cos^2 x = 1$, kita dapatkan:
$(3/5)^2 + cos^2 x = 1$
$9/25 + cos^2 x = 1$
$cos^2 x = 1 - 9/25 = 16/25$
$cos x = \pm 4/5$

Substitusikan $cos(x)$ ke dalam persamaan hasil pengurangan:
Jika $cos(x) = 4/5$: $2(4/5) sin(y) = 2 - 4/5 cos(y) \implies 8/5 sin(y) = 2 - 4/5 cos(y)$. Kalikan 5: $8 sin(y) = 10 - 4 cos(y) \implies 4 sin(y) + 2 cos(y) = 5$.
Jika $cos(x) = -4/5$: $2(-4/5) sin(y) = 2 - 4/5 cos(y) \implies -8/5 sin(y) = 2 - 4/5 cos(y)$. Kalikan 5: $-8 sin(y) = 10 - 4 cos(y) \implies -4 sin(y) + 2 cos(y) = 5$.

Namun, pertanyaan hanya meminta nilai $sin x$. Kita sudah menemukannya dari penjumlahan kedua persamaan.

Nilai dari sin x adalah 3/5.