Diketahui SPLTV: x - 4y - 2 = -3 x + ky + z =5 3x - 7y - 2z

Nilai k yang memenuhi agar SPLTV memiliki penyelesaian adalah k ≠ -6.5.

Pembahasan

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) sebagai berikut:
1. x - 4y - 2 = -3
2. x + ky + z = 5
3. 3x - 7y - 2z = -6

Pertama, kita sederhanakan persamaan (1):
x - 4y = -3 + 2
x - 4y = -1 (Persamaan 1')

Agar SPLTV ini mempunyai penyelesaian, determinan dari matriks koefisiennya tidak boleh nol (det(A) ≠ 0).

Matriks koefisien dari SPLTV tersebut adalah:
A = [[1, -4, 0],
     [1,  k, 1],
     [3, -7, -2]]

Untuk mencari determinan matriks A, kita bisa menggunakan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor.
Menggunakan metode Sarrus:
det(A) = [ (1)(k)(-2) + (-4)(1)(3) + (0)(1)(-7) ] - [ (0)(k)(3) + (1)(1)(-7) + (-4)(1)(-2) ]
      = [ -2k - 12 + 0 ] - [ 0 - 7 + 8 ]
      = [ -2k - 12 ] - [ 1 ]
      = -2k - 12 - 1
      = -2k - 13

Agar persamaan tersebut mempunyai penyelesaian, determinan matriks koefisien tidak boleh sama dengan nol:
det(A) ≠ 0
-2k - 13 ≠ 0
-2k ≠ 13
k ≠ 13 / -2
k ≠ -6.5

Jadi, agar sistem persamaan linear tiga variabel tersebut mempunyai penyelesaian, nilai k yang memenuhi adalah k ≠ -6.5.