Diketahui sudut antara vektor r=2i-j+3k dan vektor

Nilai x yang memenuhi adalah -34/11.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x yang memenuhi jika sudut antara vektor r = 2i - j + 3k dan vektor s = i + 3j - xk adalah \pi/3, kita gunakan definisi perkalian titik (dot product).

Langkah 1: Tuliskan vektor dalam bentuk komponen.
r = (2, -1, 3)
s = (1, 3, -x)

Langkah 2: Ingat rumus perkalian titik dan hubungannya dengan sudut antar vektor.
r . s = |r| |s| cos(\theta)

Langkah 3: Hitung perkalian titik r . s.
r . s = (2)(1) + (-1)(3) + (3)(-x)
      = 2 - 3 - 3x
      = -1 - 3x

Langkah 4: Hitung panjang vektor |r| dan |s|.
|r| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = sqrt(4 + 1 + 9) = sqrt(14)
|s| = sqrt(1^2 + 3^2 + (-x)^2) = sqrt(1 + 9 + x^2) = sqrt(10 + x^2)

Langkah 5: Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus perkalian titik.
-1 - 3x = sqrt(14) * sqrt(10 + x^2) * cos(\pi/3)

Diketahui cos(\pi/3) = 1/2.
-1 - 3x = sqrt(14) * sqrt(10 + x^2) * (1/2)

Langkah 6: Selesaikan persamaan untuk x.
Kalikan kedua sisi dengan 2:
-2 - 6x = sqrt(14(10 + x^2))
-2 - 6x = sqrt(140 + 14x^2)

Kuadratkan kedua sisi:
(-2 - 6x)^2 = 140 + 14x^2
4 + 24x + 36x^2 = 140 + 14x^2

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
36x^2 - 14x^2 + 24x + 4 - 140 = 0
22x^2 + 24x - 136 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 2:
11x^2 + 12x - 68 = 0

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x:
x = [-b \pm sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 11, b = 12, c = -68.

x = [-12 \pm sqrt(12^2 - 4(11)(-68))] / (2*11)
x = [-12 \pm sqrt(144 + 2992)] / 22
x = [-12 \pm sqrt(3136)] / 22

Hitung akar kuadrat dari 3136:
sqrt(3136) = 56

x = [-12 \pm 56] / 22

Ada dua kemungkinan solusi:
x1 = (-12 + 56) / 22 = 44 / 22 = 2
x2 = (-12 - 56) / 22 = -68 / 22 = -34 / 11

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini valid dengan mensubstitusikan kembali ke persamaan awal, terutama bagian sebelum pengkuadratan, karena pengkuadratan bisa memperkenalkan solusi asing.
Untuk x = 2:
-1 - 3(2) = -1 - 6 = -7
sqrt(140 + 14(2^2)) = sqrt(140 + 14*4) = sqrt(140 + 56) = sqrt(196) = 14
-7 tidak sama dengan 14. Jadi, x=2 bukan solusi.

Untuk x = -34/11:
-1 - 3(-34/11) = -1 + 102/11 = (-11 + 102)/11 = 91/11
sqrt(140 + 14(-34/11)^2) = sqrt(140 + 14(1156/121)) = sqrt(140 + 16184/121) = sqrt((16940 + 16184)/121) = sqrt(33124/121)
sqrt(33124) = 182
sqrt(33124/121) = 182/11

Jadi, 91/11 = 182/11 * (1/2) -> 91/11 = 91/11. Ini valid.

Ada kemungkinan kesalahan dalam perhitungan atau pemahaman soal. Mari kita periksa kembali langkahnya.

Kembali ke: -1 - 3x = (1/2) * sqrt(140 + 14x^2)
Agar kedua sisi sama, kedua sisi harus memiliki tanda yang sama. Jika -1 - 3x positif, maka x harus negatif dan lebih besar dari -1/3.
Jika x = 2, -1 - 3(2) = -7. Sisi kanan positif. Tidak cocok.
Jika x = -34/11, -1 - 3(-34/11) = -1 + 102/11 = 91/11. Sisi kanan positif. Cocok.

Periksa kembali perhitungan kuadrat:
(-2 - 6x)^2 = (-(2+6x))^2 = (2+6x)^2 = 4 + 24x + 36x^2. Ini benar.

Persamaan kuadrat 11x^2 + 12x - 68 = 0 menghasilkan solusi x=2 dan x=-34/11.
Kita harus memeriksa kondisi bahwa -1 - 3x harus positif agar sama dengan (1/2) * akar positif.
Jika x = 2, -1 - 3(2) = -7. Ini negatif. Jadi, x=2 tidak memenuhi kondisi awal.
Jika x = -34/11, -1 - 3(-34/11) = -1 + 102/11 = 91/11. Ini positif. Jadi, x = -34/11 adalah solusi yang valid.

Nilai x yang memenuhi adalah -34/11.