Diketahui sudut-sudut segitiga ABC adalah a, b, dan gamma.

$144(\sqrt{3} + 1)$ cm$^2$

Pembahasan

Untuk menghitung luas segitiga ABC ketika diketahui dua sudut dan satu sisi di depannya (sudut-sisi-sudut), kita dapat menggunakan aturan sinus terlebih dahulu untuk mencari panjang sisi lain, kemudian menggunakan rumus luas segitiga.

Diketahui:
Sudut A = $\alpha$, Sudut B = $\beta$, Sudut C = $\gamma$
Sudut A ($\alpha$) = 30 derajat
Sudut B ($\beta$) = 45 derajat
Sisi a (sisi di depan sudut A) = 24 cm

Langkah 1: Cari besar sudut C ($\gamma$).
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat.
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$30^\circ + 45^\circ + \gamma = 180^\circ$
$75^\circ + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

Langkah 2: Cari panjang sisi b menggunakan aturan sinus.
Aturan Sinus menyatakan: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
Kita gunakan $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$:
$\frac{24}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$
Kita tahu $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ dan $\sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.
$\frac{24}{1/2} = \frac{b}{1/2\sqrt{2}}$
$48 = \frac{b}{1/2\sqrt{2}}$
$b = 48 \times \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$b = 24\sqrt{2}$ cm.

Langkah 3: Hitung luas segitiga ABC menggunakan rumus Luas = $\frac{1}{2}ab \sin \gamma$.
Luas = $\frac{1}{2} \times 24 \times (24\sqrt{2}) \times \sin 105^\circ$

Kita perlu mencari nilai $\sin 105^\circ$.
$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$
$= (\frac{1}{2}\sqrt{3})(\frac{1}{2}\sqrt{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}\sqrt{2})$
$= \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Sekarang masukkan nilai $\sin 105^\circ$ ke dalam rumus luas:
Luas = $\frac{1}{2} \times 24 \times (24\sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Luas = $12 \times 24\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Luas = $288\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Luas = $72\sqrt{2} \times (\sqrt{6} + \sqrt{2})$
Luas = $72(\sqrt{12} + \sqrt{4})$
Luas = $72(2\sqrt{3} + 2)$
Luas = $144(\sqrt{3} + 1)$ cm$^2$.

Jadi, luas segitiga ABC adalah $144(\sqrt{3} + 1)$ cm$^2$.