Diketahui suku banyak f(x)=x^4-2x^3+(m+2)x^2-x+(m+1) jika

Sisanya adalah -43x + 48.

Pembahasan

Diketahui suku banyak $f(x) = x^4 - 2x^3 + (m+2)x^2 - x + (m+1)$.
Ketika $f(x)$ dibagi $(x-2)$, sisanya adalah 17. Berdasarkan teorema sisa, $f(2) = 17$.

Substitusikan $x=2$ ke dalam $f(x)$:
$f(2) = 2^4 - 2(2^3) + (m+2)(2^2) - 2 + (m+1) = 17$
$16 - 2(8) + (m+2)(4) - 2 + m + 1 = 17$
$16 - 16 + 4m + 8 - 2 + m + 1 = 17$
$5m + 7 = 17$
$5m = 17 - 7$
$5m = 10$
$m = 2$

Jadi, suku banyak tersebut adalah $f(x) = x^4 - 2x^3 + (2+2)x^2 - x + (2+1) = x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 3$.

Selanjutnya, kita akan mencari sisa jika $f(x)$ dibagi oleh $x^2 + 2x - 3$. Pertama, faktorkan pembaginya:
$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$

Karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya akan berderajat 1, yaitu $S(x) = Ax + B$.
Menurut teorema sisa:
$f(-3) = A(-3) + B = -3A + B$
$f(1) = A(1) + B = A + B$

Hitung $f(-3)$:
$f(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^3 + 4(-3)^2 - (-3) + 3$
$f(-3) = 81 - 2(-27) + 4(9) + 3 + 3$
$f(-3) = 81 + 54 + 36 + 3 + 3$
$f(-3) = 177$

Jadi, $-3A + B = 177$ (Persamaan 1)

Hitung $f(1)$:
$f(1) = (1)^4 - 2(1)^3 + 4(1)^2 - 1 + 3$
$f(1) = 1 - 2 + 4 - 1 + 3$
$f(1) = 5$

Jadi, $A + B = 5$ (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear untuk $A$ dan $B$:
1) $-3A + B = 177$
2) $A + B = 5$

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
$(-3A + B) - (A + B) = 177 - 5$
$-3A + B - A - B = 172$
$-4A = 172$
$A = 172 / -4$
$A = -43$

Substitusikan nilai $A$ ke Persamaan 2:
$-43 + B = 5$
$B = 5 + 43$
$B = 48$

Maka, sisa pembagiannya adalah $S(x) = Ax + B = -43x + 48$.