Diketahui titik A(2,3), B(-1,-1), dan C(5,-1). Jika

a. Vektor BD = (3, 0), b. Titik D = (2, -1)

Pembahasan

Diketahui titik A(2,3), B(-1,-1), dan C(5,-1). Proyeksi vektor ortogonal vektor BA pada vektor BC adalah vektor BD.

a. Mencari vektor BA dan BC:
vektor BA = A - B = (2 - (-1), 3 - (-1)) = (3, 4)
vektor BC = C - B = (5 - (-1), -1 - (-1)) = (6, 0)

b. Menghitung proyeksi vektor ortogonal vektor BA pada vektor BC (vektor BD):
Rumus proyeksi vektor ortogonal $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}$.
Di sini, $\vec{u} = \vec{BA} = (3, 4)$ dan $\vec{v} = \vec{BC} = (6, 0)$.
$\\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(6) + (4)(0) = 18 + 0 = 18$.
$\|\vec{BC}\|^2 = 6^2 + 0^2 = 36$.

vektor BD = $\frac{18}{36} (6, 0) = \frac{1}{2} (6, 0) = (3, 0)$.

c. Mencari koordinat titik D:
vektor BD = D - B
(3, 0) = (Dx - (-1), Dy - (-1))
(3, 0) = (Dx + 1, Dy + 1)

Untuk komponen x:
3 = Dx + 1
Dx = 3 - 1 = 2

Untuk komponen y:
0 = Dy + 1
Dy = -1

Jadi, koordinat titik D adalah (2, -1).