Diketahui titik A(3, 1), B(5, 6), dan D(9, 2). a. Tentukan

ABCD adalah jajargenjang.

Pembahasan

Diketahui titik A(3, 1), B(5, 6), dan D(9, 2).

a. Tentukan koordinat P, yaitu titik tengah B dan D.
Titik tengah P dirumuskan sebagai $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.
$P = (\frac{5+9}{2}, \frac{6+2}{2}) = (\frac{14}{2}, \frac{8}{2}) = (7, 4)$.
Jadi, koordinat P adalah (7, 4).

b. Tentukan koordinat titik C sehingga titik P merupakan titik tengah AC.
Karena P adalah titik tengah AC, maka $P = (\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2})$.
$(7, 4) = (\frac{3+x_C}{2}, \frac{1+y_C}{2})$.
Untuk koordinat x: $7 = \frac{3+x_C}{2} \implies 14 = 3 + x_C \implies x_C = 11$.
Untuk koordinat y: $4 = \frac{1+y_C}{2} \implies 8 = 1 + y_C \implies y_C = 7$.
Jadi, koordinat titik C adalah (11, 7).

c. Tentukan persamaan garis AD dan persamaan garis BC. Apakah kedua garis sejajar?
Persamaan garis AD:
Gradien AD ($m_{AD}$) = $\frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{2 - 1}{9 - 3} = \frac{1}{6}$.
Persamaan garis AD (melalui A(3,1) dengan gradien 1/6):
y - $y_A = m_{AD}(x - x_A)$
y - 1 = $\frac{1}{6}(x - 3)$
$6(y - 1) = x - 3$
$6y - 6 = x - 3$
$x - 6y + 3 = 0$.

Persamaan garis BC:
Gradien BC ($m_{BC}$) = $\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{7 - 6}{11 - 5} = \frac{1}{6}$.
Persamaan garis BC (melalui B(5,6) dengan gradien 1/6):
y - $y_B = m_{BC}(x - x_B)$
y - 6 = $\frac{1}{6}(x - 5)$
$6(y - 6) = x - 5$
$6y - 36 = x - 5$
$x - 6y + 31 = 0$.

Karena $m_{AD} = m_{BC} = \frac{1}{6}$, maka garis AD sejajar dengan garis BC.

d. Tentukan persamaan garis AB dan persamaan garis DC. Apakah kedua garis sejajar?
Persamaan garis AB:
Gradien AB ($m_{AB}$) = $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 1}{5 - 3} = \frac{5}{2}$.
Persamaan garis AB (melalui A(3,1) dengan gradien 5/2):
y - $y_A = m_{AB}(x - x_A)$
y - 1 = $\frac{5}{2}(x - 3)$
$2(y - 1) = 5(x - 3)$
$2y - 2 = 5x - 15$
$5x - 2y - 13 = 0$.

Persamaan garis DC:
Gradien DC ($m_{DC}$) = $\frac{y_C - y_D}{x_C - x_D} = \frac{7 - 2}{11 - 9} = \frac{5}{2}$.
Persamaan garis DC (melalui D(9,2) dengan gradien 5/2):
y - $y_D = m_{DC}(x - x_D)$
y - 2 = $\frac{5}{2}(x - 9)$
$2(y - 2) = 5(x - 9)$
$2y - 4 = 5x - 45$
$5x - 2y - 41 = 0$.

Karena $m_{AB} = m_{DC} = \frac{5}{2}$, maka garis AB sejajar dengan garis DC.

e. Apakah bentuk segi empat ABCD?
Karena sisi AD sejajar dengan BC dan sisi AB sejajar dengan DC, maka segi empat ABCD adalah sebuah jajargenjang.