Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3

Persamaan garis singgung kurva di titik berabsis 4 adalah y = 6x - 12.

Pembahasan

Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah dy/dx = 3√x.
Untuk mencari persamaan kurva, kita perlu mengintegralkan gradien:
y = ∫ 3√x dx
y = ∫ 3x^(1/2) dx
y = 3 * (x^((1/2)+1) / ((1/2)+1)) + C
y = 3 * (x^(3/2) / (3/2)) + C
y = 3 * (2/3) * x^(3/2) + C
y = 2x^(3/2) + C

Kita tahu bahwa kurva melalui titik (9, 50). Kita bisa gunakan titik ini untuk mencari nilai konstanta C:
50 = 2 * (9)^(3/2) + C
50 = 2 * (√9)³ + C
50 = 2 * (3)³ + C
50 = 2 * 27 + C
50 = 54 + C
C = 50 - 54
C = -4

Jadi, persamaan kurva adalah y = 2x^(3/2) - 4.

Sekarang kita perlu mencari persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 4. Pertama, kita cari gradien di x = 4:
dy/dx = 3√x
Gradien di x = 4 adalah m = 3√4 = 3 * 2 = 6.

Selanjutnya, kita cari nilai y pada x = 4:
y = 2(4)^(3/2) - 4
y = 2 * (√4)³ - 4
y = 2 * (2)³ - 4
y = 2 * 8 - 4
y = 16 - 4
y = 12

Jadi, titik singgungnya adalah (4, 12).

Sekarang kita gunakan rumus persamaan garis singgung: y - y1 = m(x - x1)
y - 12 = 6(x - 4)
y - 12 = 6x - 24
y = 6x - 24 + 12
y = 6x - 12

Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik berabsis 4 adalah y = 6x - 12.