Diketahui titik A(3,-1) dan B(-2,5) serta garis g:x+3y-7=0

a. k = -2, b. B'(4, -10), c. x + 3y + 14 = 0.

Pembahasan

Diketahui titik A(3, -1) dan B(-2, 5), serta garis g dengan persamaan \(x + 3y - 7 = 0\). Ketiga objek ini didilatasikan oleh \([O, k]\), yang berarti dilatasi dengan pusat di titik asal O(0, 0) dan faktor skala \(k\).

Diketahui bayangan titik A adalah A'(-6, 2).
Rumus dilatasi dengan pusat di O(0, 0) dan faktor skala \(k\) adalah \(A'(kx, ky)\) untuk titik A(x, y).

a. Menentukan nilai \(k\):
Karena A(3, -1) didilatasikan menjadi A'(-6, 2) dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala \(k\), kita punya:
\(k \times 3 = -6\)  dan  \(k \times (-1) = 2\).
Dari persamaan pertama: \(k = \frac{-6}{3} = -2\).
Dari persamaan kedua: \(k = \frac{2}{-1} = -2\).
Kedua persamaan memberikan nilai \(k = -2\). Jadi, nilai \(k\) adalah -2.

b. Menentukan koordinat bayangan titik B:
Titik B memiliki koordinat (-2, 5). Dengan faktor skala \(k = -2\), bayangan titik B, yaitu B', adalah:
\(B'(k \times x_B, k \times y_B)\)
\(B'(-2 \times (-2), -2 \times 5)\)
\(B'(4, -10)\).
Jadi, koordinat bayangan titik B adalah (4, -10).

c. Menentukan bayangan garis g:
Garis g memiliki persamaan \(x + 3y - 7 = 0\).
Misalkan titik \((x, y)\) pada garis g didilatasikan menjadi titik \((x', y')\) pada bayangan garis g' dengan faktor skala \(k = -2\) dan pusat O(0, 0).
Maka berlaku:
\(x' = kx = -2x 	\Rightarrow x = \frac{x'}{-2}\)
\(y' = ky = -2y 	\Rightarrow y = \frac{y'}{-2}\)

Substitusikan nilai \(x\) dan \(y\) ke dalam persamaan garis g:
\((\frac{x'}{-2}) + 3(\frac{y'}{-2}) - 7 = 0\)
Kalikan seluruh persamaan dengan -2 untuk menghilangkan penyebut:
\(x' + 3y' - 7(-2) = 0(-2)\)
\(x' + 3y' + 14 = 0\).

Jadi, bayangan garis g adalah \(x + 3y + 14 = 0\).