Jika sin x+sin 2 x+sin 3 x=0 , dengan x in((0,2 pi)/(3))

0

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakannya. 

sin x + sin 3x + sin 2x = 0
2 sin((x+3x)/2) cos((3x-x)/2) + sin 2x = 0
2 sin 2x cos x + sin 2x = 0
sin 2x (2 cos x + 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan:
sin 2x = 0 atau 2 cos x + 1 = 0

Jika sin 2x = 0, maka 2x = nπ, sehingga x = nπ/2. Dalam rentang (0, 2π/3), solusi yang mungkin adalah x = π/2.

Jika 2 cos x + 1 = 0, maka cos x = -1/2. Dalam rentang (0, 2π/3), solusi yang mungkin adalah x = 2π/3.

Sekarang kita perlu menghitung tan 4x untuk nilai-nilai x ini.

Jika x = π/2, maka 4x = 2π. tan(2π) = 0.
Jika x = 2π/3, maka 4x = 8π/3. tan(8π/3) = tan(2π + 2π/3) = tan(2π/3) = -√3.

Namun, kita perlu memeriksa kembali batasan soal yaitu x in((0,2 pi)/(3)).
Untuk x = π/2, π/2 = 0.5π dan 2π/3 ≈ 0.66π. Jadi π/2 berada dalam rentang tersebut.
Untuk x = 2π/3, ini adalah batas atas, tetapi soal menyatakan 'dalam' (0, 2π/3), jadi x=2π/3 tidak termasuk.

Mari kita tinjau kembali persamaan sin 2x (2 cos x + 1) = 0.

Jika sin 2x = 0, maka 2x = 0, π, 2π, ... Dari sini x = 0, π/2, π, ...
Karena x dalam rentang (0, 2π/3), maka x = π/2 adalah solusi.

Jika 2 cos x + 1 = 0, maka cos x = -1/2. Dari sini x = 2π/3, 4π/3, ...
Karena x dalam rentang (0, 2π/3), tidak ada solusi dari kondisi ini.

Jadi, satu-satunya solusi dalam rentang yang diberikan adalah x = π/2.

Maka, kita perlu menghitung tan(4x) untuk x = π/2.
tan(4 * π/2) = tan(2π) = 0.

Jadi, tan 4x = 0.