Diketahui titik-titik A(3,3,3), B(1,2,-1) , C(4,1,1) , dan

ABCD adalah jajargenjang karena sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Besar sudut-sudutnya adalah ±139.47° dan ±40.53°.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa bangun ABCD berbentuk jajargenjang, kita perlu menunjukkan bahwa pasangan sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang, atau bahwa diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang.

Misalkan kita gunakan vektor:
$\\vec{AB} = B - A = (1-3, 2-3, -1-3) = (-2, -1, -4)$
$\\vec{DC} = C - D = (4-6, 1-2, 1-5) = (-2, -1, -4)$
Karena $\\vec{AB} = \\vec{DC}$, maka sisi AB sejajar dan sama panjang dengan sisi DC.

Sekarang kita periksa sisi lainnya:
$\\vec{BC} = C - B = (4-1, 1-2, 1-(-1)) = (3, -1, 2)$
$\\vec{AD} = D - A = (6-3, 2-3, 5-3) = (3, -1, 2)$
Karena $\\vec{BC} = \\vec{AD}$, maka sisi BC sejajar dan sama panjang dengan sisi AD.
Karena kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang, maka ABCD adalah jajargenjang.

Untuk menghitung besar setiap sudut, kita dapat menggunakan hasil kali titik (dot product) antara vektor-vektor yang membentuk sudut tersebut.
Sudut A (antara $\\vec{AB}$ dan $\\vec{AD}$):
$\\cos A = \\frac{\\\\vec{AB} \\cdot \\vec{AD}}{|\\vec{AB}| |\\vec{AD}|} = \\frac{(-2)(3) + (-1)(-1) + (-4)(2)}{\\\\\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-4)^2} \\\\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \\frac{-6 + 1 - 8}{\\\\\sqrt{4+1+16} \\\\sqrt{9+1+4}} = \\frac{-13}{\\\\\sqrt{21} \\\\sqrt{14}} = \\frac{-13}{\\\\\sqrt{294}} \\approx -0.7605$
$A = \\arccos(-0.7605) \\approx 139.47^o$

Sudut B (antara $\\vec{BA}$ dan $\\vec{BC}$):
$\\vec{BA} = -\\vec{AB} = (2, 1, 4)$
$\\cos B = \\frac{\\\\vec{BA} \\cdot \\vec{BC}}{|\\vec{BA}| |\\vec{BC}|} = \\frac{(2)(3) + (1)(-1) + (4)(2)}{\\\\\sqrt{2^2+1^2+4^2} \\\\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \\frac{6 - 1 + 8}{\\\\\sqrt{4+1+16} \\\\sqrt{9+1+4}} = \\frac{13}{\\\\\sqrt{21} \\\\sqrt{14}} = \\frac{13}{\\\\\sqrt{294}} \\approx 0.7605$
$B = \\arccos(0.7605) \\approx 40.53^o$

Dalam jajargenjang, sudut yang berdekatan berjumlah 180 derajat, dan sudut yang berhadapan sama besar.
Jadi, sudut C = sudut A $\\approx 139.47^o$, dan sudut D = sudut B $\\approx 40.53^o$.
Verifikasi: $139.47^o + 40.53^o = 180^o$.

Ringkasan Jawaban:
Bangun ABCD adalah jajargenjang karena $\\vec{AB} = \\vec{DC}$ dan $\\vec{BC} = \\vec{AD}$. Besar sudut A $\\approx 139.47^o$, sudut B $\\approx 40.53^o$, sudut C $\\approx 139.47^o$, dan sudut D $\\approx 40.53^o$.