Diketahui vektor u=i+4j-2k dan vektor v=2i-j+3k. Tentukan

a. 10i - 7j - 9k, b. √230

Pembahasan

Soal ini melibatkan operasi perkalian silang (cross product) antara dua vektor dan menghitung panjang (magnitude) dari vektor hasil perkalian silang.

Diketahui:
Vektor u = i + 4j - 2k
Vektor v = 2i - j + 3k

Dalam notasi komponen:
u = (1, 4, -2)
v = (2, -1, 3)

Bagian a: Hitung vektor u x v (perkalian silang)
Perkalian silang antara dua vektor u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) diberikan oleh:
u x v = (u2*v3 - u3*v2)i + (u3*v1 - u1*v3)j + (u1*v2 - u2*v1)k

Atau menggunakan determinan:
   | i   j   k  |
u x v = | u1  u2  u3 |
           | v1  v2  v3 |

   | i   j   k  |
u x v = | 1   4  -2 |
           | 2  -1   3 |

Hitung komponen i:
(4 * 3) - (-2 * -1) = 12 - 2 = 10

Hitung komponen j:
(-2 * 2) - (1 * 3) = -4 - 3 = -7
(Perhatikan tanda negatif pada rumus komponen j: -( (1*3) - (-2*2) ) = -(3 - (-4)) = -(7) = -7, atau gunakan rumus (u3*v1 - u1*v3) = (-2*2) - (1*3) = -4 - 3 = -7)

Hitung komponen k:
(1 * -1) - (4 * 2) = -1 - 8 = -9

Maka, vektor u x v = 10i - 7j - 9k
Atau dalam notasi komponen: (10, -7, -9)

Bagian b: Hitung panjang vektor |u x v|
Panjang vektor w = (w1, w2, w3) dihitung dengan rumus: |w| = √(w1^2 + w2^2 + w3^2)

Untuk vektor hasil u x v = (10, -7, -9):
|u x v| = √(10^2 + (-7)^2 + (-9)^2)
|u x v| = √(100 + 49 + 81)
|u x v| = √(230)

Jadi, nilai dari:
a. vektor u x v = 10i - 7j - 9k
b. vektor |u x v| = √230