Diketahui vektor-vektor: vektor u=9 vektor i+a vektor j+b

Nilai 2b adalah 4√2.

Pembahasan

Diketahui vektor u = 9i + aj + bk dan vektor v = ai - bj + ak. Sudut antara vektor u dan v adalah θ, dengan cos θ = 6/11. Proyeksi vektor u pada vektor v adalah p = 4i - 2j + 4k.

Kita tahu bahwa proyeksi vektor u pada vektor v diberikan oleh rumus:
p = ((u · v) / |v|^2) * v

Dan perkalian dot (u · v) adalah:
u · v = (9)(a) + (a)(-b) + (b)(a) = 9a - ab + ab = 9a

Panjang kuadrat vektor v adalah:
|v|^2 = a^2 + (-b)^2 + a^2 = 2a^2 + b^2

Jadi, proyeksi vektor u pada v adalah:
p = (9a / (2a^2 + b^2)) * (ai - bj + ak)

Kita juga tahu bahwa p = 4i - 2j + 4k. Dengan menyamakan komponen vektor p:

Komponen i: 4 = (9a / (2a^2 + b^2)) * a  => 4 = 9a^2 / (2a^2 + b^2)
4(2a^2 + b^2) = 9a^2
8a^2 + 4b^2 = 9a^2
4b^2 = a^2
b^2 = a^2 / 4
b = ±a/2

Komponen j: -2 = (9a / (2a^2 + b^2)) * (-b) => -2 = -9ab / (2a^2 + b^2)
2 = 9ab / (2a^2 + b^2)
2(2a^2 + b^2) = 9ab
4a^2 + 2b^2 = 9ab

Komponen k: 4 = (9a / (2a^2 + b^2)) * a => 4 = 9a^2 / (2a^2 + b^2)
Ini memberikan hasil yang sama dengan komponen i, yaitu 4b^2 = a^2.

Sekarang, gunakan informasi cos θ = 6/11.
Rumus cosinus sudut antara dua vektor adalah:
cos θ = (u · v) / (|u| * |v|)

Kita sudah punya u · v = 9a.
|v|^2 = 2a^2 + b^2.

Dari proyeksi, kita mendapatkan 4b^2 = a^2, sehingga b^2 = a^2/4.
Substitusikan b^2 ke dalam |v|^2:
|v|^2 = 2a^2 + a^2/4 = 8a^2/4 + a^2/4 = 9a^2/4
|v| = sqrt(9a^2/4) = 3a/2 (asumsikan a positif)

Sekarang, kita perlu |u|:
|u|^2 = 9^2 + a^2 + b^2 = 81 + a^2 + a^2/4 = 81 + 5a^2/4
|u| = sqrt(81 + 5a^2/4)

Kembali ke rumus cos θ:
6/11 = 9a / (sqrt(81 + 5a^2/4) * (3a/2))
6/11 = 9a / ((3a/2) * sqrt(81 + 5a^2/4))
6/11 = 9a / ((9a/2) * sqrt(81 + 5a^2/4))
6/11 = 2 / sqrt(81 + 5a^2/4)

Kuadratkan kedua sisi:
36/121 = 4 / (81 + 5a^2/4)
36 * (81 + 5a^2/4) = 4 * 121
9 * (81 + 5a^2/4) = 121
729 + 45a^2/4 = 121
45a^2/4 = 121 - 729
45a^2/4 = -608

Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan atau informasi soal karena menghasilkan nilai a^2 yang negatif. Mari kita periksa kembali penggunaan rumus proyeksi.

Proyeksi vektor u pada vektor v adalah vektor p, sehingga p = k * v, di mana k adalah skalar positif.
p = 4i - 2j + 4k dan v = ai - bj + ak.
Ini berarti komponen p harus sebanding dengan komponen v.
4 = k * a
-2 = k * (-b) => 2 = k * b
4 = k * a

Dari sini, kita dapatkan 4 = ka dan 2 = kb. Ini berarti:
k = 4/a dan k = 2/b.
Sehingga, 4/a = 2/b => 4b = 2a => a = 2b.

Sekarang gunakan cos θ = (u · v) / (|u| * |v|).

u · v = 9a - ab + ab = 9a.

Substitusikan a = 2b ke dalam u · v:
u · v = 9(2b) = 18b.

Substitusikan a = 2b ke dalam v:
v = (2b)i - bj + (2b)k.
|v|^2 = (2b)^2 + (-b)^2 + (2b)^2 = 4b^2 + b^2 + 4b^2 = 9b^2.
|v| = sqrt(9b^2) = 3b (asumsikan b positif).

Substitusikan a = 2b ke dalam u:
u = 9i + (2b)j + bk.
|u|^2 = 9^2 + (2b)^2 + b^2 = 81 + 4b^2 + b^2 = 81 + 5b^2.
|u| = sqrt(81 + 5b^2).

Sekarang, cos θ = (u · v) / (|u| * |v|):
6/11 = 18b / (sqrt(81 + 5b^2) * 3b)
6/11 = 18b / (3b * sqrt(81 + 5b^2))
6/11 = 6 / sqrt(81 + 5b^2)

Ini berarti sqrt(81 + 5b^2) = 11.
Kuadratkan kedua sisi:
81 + 5b^2 = 121
5b^2 = 121 - 81
5b^2 = 40
b^2 = 8
b = sqrt(8) = 2*sqrt(2).

Karena a = 2b, maka a = 2 * (2*sqrt(2)) = 4*sqrt(2).

Kita perlu mencari nilai 2b. Namun, mari kita cek lagi dengan proyeksi vektor.

Proyeksi u pada v = p.
Komponen i: 4 = ((u·v)/|v|^2) * a
Komponen j: -2 = ((u·v)/|v|^2) * (-b)
Komponen k: 4 = ((u·v)/|v|^2) * a

Dari komponen i dan k, kita dapatkan 4 = ((u·v)/|v|^2) * a. Ini konsisten.
Dari komponen j, -2 = ((u·v)/|v|^2) * (-b) => 2 = ((u·v)/|v|^2) * b.

Perbandingan komponen i dan j:
4 / (-2) = (ka) / (-kb) => -2 = a / (-b) => -2b = -a => a = 2b.
Ini sama dengan yang kita dapatkan sebelumnya.

Sekarang kita punya a=2b dan |v|=3b, u·v=18b, |u|=sqrt(81+5b^2).
cos θ = (u·v) / (|u||v|) = 18b / (sqrt(81+5b^2) * 3b) = 6 / sqrt(81+5b^2).

Kita diberikan cos θ = 6/11.
Jadi, 6/11 = 6 / sqrt(81+5b^2).
Ini menyiratkan sqrt(81+5b^2) = 11.
81 + 5b^2 = 121
5b^2 = 40
b^2 = 8.

Jika b^2 = 8, maka b = sqrt(8) = 2*sqrt(2).
Maka a = 2b = 4*sqrt(2).

Nilai 2b adalah 2 * (2*sqrt(2)) = 4*sqrt(2).

Namun, mari kita periksa apakah nilai ini konsisten dengan proyeksi vektor p = 4i - 2j + 4k.
Jika a = 4*sqrt(2) dan b = 2*sqrt(2):
v = 4*sqrt(2)i - 2*sqrt(2)j + 4*sqrt(2)k.
|v|^2 = (4*sqrt(2))^2 + (-2*sqrt(2))^2 + (4*sqrt(2))^2 = 32 + 8 + 32 = 72.
|v| = sqrt(72) = 6*sqrt(2).

u = 9i + 4*sqrt(2)j + 2*sqrt(2)k.
|u|^2 = 9^2 + (4*sqrt(2))^2 + (2*sqrt(2))^2 = 81 + 32 + 8 = 121.
|u| = 11.

u · v = 9(4*sqrt(2)) + (4*sqrt(2))(-2*sqrt(2)) + (2*sqrt(2))(4*sqrt(2))
= 36*sqrt(2) - 16*2 + 16*2 = 36*sqrt(2).

cos θ = (u · v) / (|u| * |v|) = 36*sqrt(2) / (11 * 6*sqrt(2)) = 36*sqrt(2) / 66*sqrt(2) = 36/66 = 6/11. Ini cocok.

Sekarang, proyeksi u pada v:
((u · v) / |v|^2) * v = (36*sqrt(2) / 72) * (4*sqrt(2)i - 2*sqrt(2)j + 4*sqrt(2)k)
= (sqrt(2)/2) * (4*sqrt(2)i - 2*sqrt(2)j + 4*sqrt(2)k)
= (4*2/2)i - (2*2/2)j + (4*2/2)k
= 4i - 2j + 4k. Ini juga cocok.

Jadi, nilai b = 2*sqrt(2).
Maka 2b = 2 * (2*sqrt(2)) = 4*sqrt(2).

Jawaban ringkas: 4√2