Diketahuin n e N, gunakan prinsip induksi matematika, untuk

Sifat (ab)^n = a^n * b^n terbukti benar untuk semua n ∈ N menggunakan prinsip induksi matematika dengan basis induksi n=1 dan langkah induksi membuktikan P(k+1) dari P(k).

Pembahasan

Prinsip induksi matematika adalah metode pembuktian yang digunakan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk semua bilangan asli (atau semua bilangan asli mulai dari suatu bilangan tertentu). Prinsip ini terdiri dari dua langkah utama:

1.  **Basis Induksi (Langkah Awal):** Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk kasus pertama, biasanya n=1.
2.  **Langkah Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k (hipotesis induksi), lalu buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk k+1.

Mari kita terapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan sifat (ab)^n = a^n * b^n untuk semua n ∈ N.

**Pernyataan P(n): (ab)^n = a^n * b^n**

**1. Basis Induksi (n=1):**
Kita perlu membuktikan bahwa P(1) benar.
(ab)^1 = ab
a^1 * b^1 = ab
Karena ab = ab, maka P(1) benar.

**2. Langkah Induksi:**
Asumsikan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k ∈ N. Artinya, kita mengasumsikan:
**(ab)^k = a^k * b^k** (Hipotesis Induksi)

Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa P(k+1) benar. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:
**(ab)^(k+1) = a^(k+1) * b^(k+1)**

Kita mulai dari sisi kiri P(k+1):
(ab)^(k+1) = (ab)^k * (ab)^1  (Menggunakan sifat eksponen x^(m+n) = x^m * x^n)

Berdasarkan Hipotesis Induksi, kita bisa mengganti (ab)^k dengan a^k * b^k:
(ab)^(k+1) = (a^k * b^k) * (ab)

Sekarang, kita gunakan sifat komutatif dan asosiatif perkalian untuk mengelompokkan a dan b:
(ab)^(k+1) = a^k * a * b^k * b

Menggunakan sifat eksponen x^m * x^n = x^(m+n):
(ab)^(k+1) = (a^k * a^1) * (b^k * b^1)
(ab)^(k+1) = a^(k+1) * b^(k+1)

Ini adalah sisi kanan dari P(k+1). Jadi, kita telah membuktikan bahwa jika P(k) benar, maka P(k+1) juga benar.

**Kesimpulan:**
Berdasarkan prinsip induksi matematika, karena Basis Induksi (n=1) benar dan Langkah Induksi (jika P(k) benar maka P(k+1) benar) telah dibuktikan, maka pernyataan (ab)^n = a^n * b^n benar untuk semua bilangan asli n ∈ N.