Dua lingkaran L1 dan L2 berpusat pada sumbu -x dengan

3√21

Pembahasan

Soal ini melibatkan konsep geometri analitik, khususnya garis singgung lingkaran.

Diketahui:
Lingkaran L1 berpusat di A pada sumbu-x dengan radius R1 = 2.
Lingkaran L2 berpusat pada sumbu-x dengan radius R2 = 4.
Garis singgung dalam menyinggung L1 di F dan L2 di G.
Garis singgung memotong sumbu-x di Q.
Luas segitiga AFQ = 5 satuan luas, dengan A adalah titik pusat L1.

Karena A berada pada sumbu-x dan L1 berpusat pada sumbu-x, maka A dapat diasumsikan sebagai (a, 0).
Karena L1 dan L2 bersinggungan dalam dan berpusat pada sumbu-x, serta memiliki garis singgung dalam yang memotong sumbu-x, ini mengindikasikan bahwa kedua lingkaran berada pada sisi yang berlawanan dari titik potong sumbu-x atau salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran lain.
Namun, deskripsi "garis singgung dalam" biasanya merujuk pada garis yang menyinggung kedua lingkaran di sisi yang berlawanan. Jika keduanya berpusat pada sumbu-x, maka garis singgung dalam akan memotong sumbu-x di antara pusat kedua lingkaran.

Misalkan pusat L1 adalah A = (a, 0) dan pusat L2 adalah B = (b, 0).
Karena ada garis singgung dalam yang memotong sumbu-x di Q, maka Q terletak di antara A dan B.

Dalam segitiga siku-siku AFQ (siku-siku di F karena AF adalah jari-jari dan F adalah titik singgung), luasnya adalah 1/2 * alas * tinggi.
Luas AFQ = 1/2 * AQ * AF
5 = 1/2 * AQ * R1
5 = 1/2 * AQ * 2
5 = AQ

Jadi, jarak dari titik pusat L1 (A) ke titik potong sumbu-x (Q) adalah 5 satuan.
Jika A = (a, 0), maka Q = (a+5, 0) atau Q = (a-5, 0).

Karena garis singgung tersebut juga menyinggung L2 di G dan memotong sumbu-x di Q, segitiga siku-siku BGQ (siku-siku di G) juga terbentuk.
Kita perlu menentukan posisi relatif A, B, dan Q.

Dalam kasus garis singgung dalam, berlaku kesamaan segitiga:
Segitiga AFQ sebangun dengan segitiga BGQ.
AF/BG = AQ/BQ = FQ/GQ
R1/R2 = AQ/BQ
2/4 = 5/BQ
1/2 = 5/BQ
BQ = 10

Ini berarti jarak dari pusat L2 (B) ke titik potong Q adalah 10.

Karena Q berada di antara A dan B, maka jarak AB = AQ + BQ = 5 + 10 = 15.
Jika A = (a, 0), maka B = (a+15, 0) atau B = (a-15, 0).

Kita perlu mencari panjang FG. F adalah titik singgung pada L1, dan G adalah titik singgung pada L2. FG adalah bagian dari garis singgung tersebut.

Untuk mencari panjang FG, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga yang dibentuk dengan menarik garis sejajar sumbu-x dari F ke G' (proyeksi G pada garis tegak lurus dari A ke B).

Alternatif lain:
Kita bisa menggunakan sifat garis singgung persekutuan dalam.
Jarak antara pusat kedua lingkaran (AB) = R1 + R2 = 2 + 4 = 6. (Ini jika lingkaran bersinggungan luar).
Jika garis singgung dalam, maka kedua lingkaran tidak bersinggungan luar.

Mari kita gunakan kembali kesamaan segitiga.
AF/BG = AQ/BQ
R1/R2 = AQ/BQ
2/4 = 5/BQ
BQ = 10

Sekarang kita perlu menentukan posisi A, B, dan Q.
Jika A di (0,0), maka R1=2. Garis singgungnya membentuk segitiga AFQ dengan luas 5. AQ = 5. Q bisa di (5,0) atau (-5,0).
Jika Q = (5,0), maka B harus berada di sisi lain dari Q relatif terhadap A, atau Q di antara A dan B.
Jika A=(0,0), Q=(5,0), maka B harus di (x,0) sedemikian rupa sehingga BQ=10. Maka B=(5+10,0)=(15,0) atau B=(5-10,0)=(-5,0).

Jika B=(-5,0), maka jarak AB = |-5 - 0| = 5. Tapi AB harusnya R1+R2 = 6 untuk singgung dalam memotong sumbu x di antara mereka.
Ini kontradiksi. Jadi mari kita tinjau ulang.

Garis singgung dalam akan memotong sumbu-x di antara kedua pusat.
Jadi Q terletak di antara A dan B.
Misalkan A terletak di (-x_A, 0) dan B di (x_B, 0).

Jika kita asumsikan A di (0,0), maka Q = (5,0) atau Q = (-5,0).
Kasus 1: A=(0,0), Q=(5,0).
Karena Q di antara A dan B, maka B harus di sebelah kanan Q, yaitu B = (x_B, 0) dengan x_B > 5.
Kita punya BQ = 10, jadi |x_B - 5| = 10. Karena x_B > 5, maka x_B - 5 = 10, sehingga x_B = 15. Jadi B = (15,0).
Jarak AB = 15. Padahal jarak AB untuk garis singgung dalam adalah |R1 - R2| = |2 - 4| = 2 jika lingkaran tidak memotong.
Ini adalah garis singgung persekutuan dalam.

Untuk garis singgung persekutuan dalam, berlaku:
Jarak antara pusat = R1 + R2 jika lingkaran berada di sisi berlawanan dari titik potong sumbu x.

Mari kita gunakan gambar. A di kiri, B di kanan. Q di antara A dan B.
AQ = 5, R1 = 2. Siku-siku di F.
BQ = 10, R2 = 4. Siku-siku di G.

Panjang FG dapat dihitung dengan membuat persegi panjang.
Proyeksikan F ke garis yang melalui B tegak lurus sumbu x. Misalkan proyeksinya H.
Segitiga FBH siku-siku di H.
FB = PQ = AB - AQ = AB - 5
BH = |R2 - R1| = |4 - 2| = 2.
Ini untuk garis singgung luar.

Untuk garis singgung dalam:
Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh pusat-pusat dan titik singgung.
OA = |a|, OB = |b|. Q = (q, 0).
AF = 2, BG = 4.
AQ = 5.

Dengan kesamaan segitiga yang dibentuk oleh garis singgung dan garis yang menghubungkan pusat:
ΔAFQ ~ ΔBGQ
AF/BG = AQ/BQ
2/4 = 5/BQ => BQ = 10

Karena Q terletak di antara A dan B, maka jarak antara A dan B adalah AB = AQ + BQ = 5 + 10 = 15.

Sekarang kita bisa mencari panjang FG.
Buat garis dari F sejajar sumbu-x, memotong garis yang melalui B dan tegak lurus sumbu-x di titik K.
Perhatikan segitiga siku-siku FKG (siku-siku di K).
FK = BG - AF = R2 - R1 = 4 - 2 = 2. (Ini jika A dan B berada pada sisi yang sama dari Q, yang tidak mungkin untuk garis singgung dalam)

Jika garis singgung dalam, maka F dan G berada di sisi yang berlawanan dari garis AB.

Gambaran yang lebih tepat:
Lingkaran L1 pusat A, L2 pusat B. Keduanya di sumbu x. Garis singgung dalam PQ menyinggung L1 di F dan L2 di G. Garis PQ memotong sumbu x di Q.

Dengan kesamaan segitiga siku-siku AFQ dan BGQ:
AF/BG = AQ/BQ
2/4 = 5/BQ => BQ = 10.

Karena Q adalah titik potong garis singgung dalam dengan sumbu x, maka Q terletak di antara A dan B.
Jadi, jarak AB = AQ + BQ = 5 + 10 = 15.

Sekarang kita perlu mencari FG.
Konstruksi segitiga siku-siku dengan sisi sejajar sumbu-x dan sumbu-y.
Buat garis dari F sejajar sumbu-x hingga memotong garis tegak lurus dari G ke sumbu-x. Atau, buat garis dari A sejajar FG, memotong BG di M.

Karena AF tegak lurus PQ dan BG tegak lurus PQ, maka AF sejajar BG.
Perhatikan trapesium AFGB.
Namun, F dan G tidak harus berada pada sisi yang sama dari garis AB.

Mari kita gunakan koordinat.
Misalkan A = (0, 0). Maka Q = (5, 0).
Karena Q di antara A dan B, dan BQ = 10, maka B = (15, 0).

Lingkaran L1: x^2 + y^2 = 2^2 = 4.
Lingkaran L2: (x-15)^2 + y^2 = 4^2 = 16.

Garis singgung PQ menyinggung L1 di F dan L2 di G.
Persamaan garis singgung L1: y - y1 = m(x - x1).
Titik F pada L1. AF ⊥ PQ. Sudut AFQ = 90 derajat.

Dalam segitiga AFQ, AF = 2, AQ = 5. Maka FQ = sqrt(AQ^2 - AF^2) = sqrt(5^2 - 2^2) = sqrt(25 - 4) = sqrt(21).

Dalam segitiga BGQ, BG = 4, BQ = 10. Maka GQ = sqrt(BQ^2 - BG^2) = sqrt(10^2 - 4^2) = sqrt(100 - 16) = sqrt(84) = 2*sqrt(21).

Panjang FG = FQ + GQ = sqrt(21) + 2*sqrt(21) = 3*sqrt(21).

Mari kita periksa kembali. Apakah Q selalu di antara A dan B untuk garis singgung dalam?
Ya, untuk garis singgung dalam yang memotong garis sentral (sumbu x dalam kasus ini), titik potongnya terletak di antara kedua pusat.

Jadi, A=(0,0), R1=2. Q=(5,0).
B=(15,0), R2=4.

Perhatikan segitiga siku-siku AFQ. Siku-siku di F.
AF = 2 (radius L1).
AQ = 5 (jarak pusat L1 ke Q).
FQ^2 = AQ^2 - AF^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21.
FQ = sqrt(21).

Perhatikan segitiga siku-siku BGQ. Siku-siku di G.
BG = 4 (radius L2).
BQ = 10 (jarak pusat L2 ke Q).
GQ^2 = BQ^2 - BG^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84.
GQ = sqrt(84) = sqrt(4 * 21) = 2*sqrt(21).

Karena F dan G adalah titik-titik singgung pada garis yang sama, dan Q adalah titik potong garis tersebut dengan sumbu x, maka F, G, dan Q terletak pada garis singgung tersebut.
Karena Q terletak di antara A dan B, dan F adalah titik singgung L1 dan G adalah titik singgung L2 pada garis yang sama, maka F dan G akan berada pada segmen garis PQ.

Panjang FG = FQ + GQ = sqrt(21) + 2*sqrt(21) = 3*sqrt(21).

Nilai 3*sqrt(21) sekitar 3 * 4.58 = 13.74.

Perlu dipastikan kembali apakah ada kasus lain.
Jika A=(-a,0) dan B=(b,0) dan Q=(q,0).
Jika A di kiri Q dan B di kanan Q.
AQ = |q - (-a)| = |q+a| = 5.
BQ = |q - b| = 10.
AB = |-a - b| = |-(a+b)| = a+b = 15.

Contoh: A=(-5,0), Q=(0,0). AF=2. Luas AFQ = 1/2 * 5 * 2 = 5. Benar.
Jika Q=(0,0), dan BQ=10, maka B bisa di (10,0) atau (-10,0).
Karena Q di antara A dan B, maka B harus di (10,0). B=(10,0).
Jarak AB = |10 - (-5)| = 15. Benar.
R1=2, R2=4.

Di L1: A=(-5,0), R1=2. Titik F pada L1.
Di L2: B=(10,0), R2=4. Titik G pada L2.

PQ adalah garis singgung.

Dalam segitiga AFQ, siku-siku di F. AF=2, AQ=5. FQ = sqrt(21).
Dalam segitiga BGQ, siku-siku di G. BG=4, BQ=10. GQ = sqrt(84) = 2*sqrt(21).

FG = FQ + GQ = 3*sqrt(21).