Dua puluh lima bagian mesin yang dijadikan sebagai sampel

Peluang seluruh sampel dikembalikan adalah 3041/8855.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan konsep peluang dalam distribusi binomial atau hipergeometrik, tergantung pada interpretasi pengambilan sampel. Diberikan informasi berikut:
Jumlah total bagian mesin dalam sampel = 25
Jumlah bagian mesin yang bermutu di bawah standar = 6
Jumlah bagian mesin yang bermutu standar = 25 - 6 = 19

Manajer mengambil 5 buah bagian mesin secara acak.

Sampel akan dikirim kembali seluruhnya jika dua atau lebih mutu sampel di bawah standar.

Kita perlu menghitung peluang bahwa dari 5 mesin yang diambil, ada 0 atau 1 mesin yang bermutu di bawah standar. Jika jumlah mesin yang bermutu di bawah standar adalah 0 atau 1, maka manajer TIDAK akan mengirim kembali seluruh sampel. Sebaliknya, jika jumlah mesin yang bermutu di bawah standar adalah 2 atau lebih, maka manajer AKAN mengirim kembali seluruh sampel.

Mari kita revisi pemahaman soal. Manajer akan mengirim kembali seluruh sampel JIKA DUA ATAU LEBIH mutu sampel di bawah standar. Ini berarti, kondisi agar seluruh sampel dikembalikan adalah ketika jumlah mesin yang cacat dalam pengambilan 5 mesin adalah 2, 3, 4, atau 5.

Namun, interpretasi umum dari soal seperti ini adalah manajer mengambil sampel dan akan MENGAMBIL KEPUTUSAN (mengirim kembali atau tidak) berdasarkan KONDISI yang diberikan. Kata "mengirim kembali seluruh sampel" mungkin merujuk pada skenario di mana pengujian lebih lanjut diperlukan jika ada indikasi masalah. Mari kita asumsikan bahwa "mengirim kembali seluruh sampel" terjadi ketika kondisi DUA ATAU LEBIH di bawah standar terpenuhi.

Jadi, kita ingin menghitung P(X >= 2), di mana X adalah jumlah mesin yang bermutu di bawah standar dalam sampel 5 mesin.

Ini adalah masalah pengambilan sampel tanpa pengembalian dari populasi terbatas, sehingga menggunakan distribusi hipergeometrik.

Parameter distribusi hipergeometrik:
N = Ukuran populasi = 25
K = Jumlah keberhasilan dalam populasi (mesin di bawah standar) = 6
n = Ukuran sampel = 5
x = Jumlah keberhasilan dalam sampel (mesin di bawah standar yang diambil)

Rumus peluang hipergeometrik: P(X=x) = [C(K, x) * C(N-K, n-x)] / C(N, n)

Kita perlu menghitung P(X >= 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5).

Lebih mudah menghitung komplementernya: P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)].

Mari hitung P(X=0):
C(K, 0) = C(6, 0) = 1
C(N-K, n-0) = C(25-6, 5-0) = C(19, 5)
C(19, 5) = (19*18*17*16*15) / (5*4*3*2*1) = 11628
C(N, n) = C(25, 5)
C(25, 5) = (25*24*23*22*21) / (5*4*3*2*1) = 53130
P(X=0) = (1 * 11628) / 53130 = 11628 / 53130

Mari hitung P(X=1):
C(K, 1) = C(6, 1) = 6
C(N-K, n-1) = C(25-6, 5-1) = C(19, 4)
C(19, 4) = (19*18*17*16) / (4*3*2*1) = 3876
P(X=1) = (6 * 3876) / 53130 = 23256 / 53130

P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1) = (11628 / 53130) + (23256 / 53130) = 34884 / 53130

P(X >= 2) = 1 - (34884 / 53130)
P(X >= 2) = (53130 - 34884) / 53130
P(X >= 2) = 18246 / 53130

Mari kita sederhanakan pecahan 18246 / 53130.
Kita bisa membagi keduanya dengan 6:
18246 / 6 = 3041
53130 / 6 = 8855

Peluang = 3041 / 8855

Jika soal diinterpretasikan bahwa manajer akan mengirim kembali jika DUA ATAU LEBIH dari sampel yang diambil adalah KECACATAN, maka peluangnya adalah 3041/8855.

Namun, jika interpretasi soal terbalik, yaitu "akan mengirim kembali seluruh sampel JIKA DUA ATAU LEBIH mutu sampel di bawah standar" berarti kondisi penolakan/pengembalian adalah jika ada 0 atau 1 cacat, dan jika ada 2 atau lebih cacat maka proses normal berjalan (tidak dikembalikan). Ini sangat ambigu. 

Asumsi yang paling logis adalah: Manajer mengambil 5. Jika dia menemukan 2 atau lebih cacat, dia akan "mengirim kembali seluruh sampel" untuk investigasi lebih lanjut atau penolakan. Jadi, kita menghitung P(X >= 2).

Mari kita cek ulang perhitungannya:
C(19, 5) = 11628
C(19, 4) = 3876
C(25, 5) = 53130

P(X=0) = (C(6,0)*C(19,5))/C(25,5) = (1*11628)/53130 = 11628/53130
P(X=1) = (C(6,1)*C(19,4))/C(25,5) = (6*3876)/53130 = 23256/53130
P(X>=2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 1 - (11628 + 23256)/53130 = 1 - 34884/53130 = 18246/53130

Menyederhanakan 18246/53130:
Dibagi 6: 3041/8855

Ada kemungkinan ada kesalahan interpretasi pada frasa "mengirim kembali seluruh sampel jika dua atau lebih mutu sampel di bawah standar".

Interpretasi Alternatif: Manajer MENGAMBIL 5 buah. Jika DUA ATAU LEBIH dari 5 itu cacat, maka SELURUH SAMPEL dikembalikan (mungkin untuk penolakan). 

Ini berarti kita mencari P(X >= 2).

Jika interpretasi adalah sebaliknya: "jika dua atau lebih mutu sampel di bawah standar, maka TIDAK dikirim kembali (berarti proses normal). Jika KURANG dari dua (yaitu 0 atau 1) cacat, maka SELURUH SAMPEL DIKEMBALIKAN (untuk tindakan lebih lanjut)." Maka kita cari P(X <= 1).

Peluang dikembalikan = P(X <= 1) = P(X=0) + P(X=1) = 34884 / 53130.

Menyederhanakan 34884/53130:
Dibagi 6: 5814/8855
Dibagi 3: 1938/2951.7 (tidak habis)
Dibagi 2: 2907/4427.5 (tidak habis)
Dibagi 3: 11628/17706 --> P(X=0) = 11628/53130
P(X=1) = 23256/53130
P(X<=1) = 34884/53130

Mari kita gunakan kalkulator untuk menyederhanakan 34884/53130.
34884 = 2*2*3*2907 = 2*2*3*3*969 = 2*2*3*3*3*323 = 2*2*3*3*3*17*19
53130 = 10*5313 = 2*5*3*1771 = 2*5*3*7*253 = 2*5*3*7*11*23

Faktor persekutuan terbesar adalah 2*3 = 6.
34884 / 6 = 5814
53130 / 6 = 8855

Peluang = 5814 / 8855

Jika soal dimaksudkan "Berapa peluang seluruh sampel tersebut akan dikembalikan?" dan kondisi pengembalian adalah "jika dua atau lebih mutu sampel di bawah standar", maka kita mencari P(X>=2).

P(X>=2) = 18246 / 53130 = 3041 / 8855.

Mari kita berasumsi bahwa kalimat "mengirim kembali seluruh sampel jika dua atau lebih mutu sampel di bawah standar" berarti kondisi untuk PENGEMBALIAN adalah X >= 2.

Jadi, peluangnya adalah 3041/8855.