Kelas 8Kelas 9mathAljabar
Ekspresi 21x^2 + ax+21 dapat dituliskan sebagai perkalian
Pertanyaan
Ekspresi 21x^2 + ax + 21 dapat dituliskan sebagai perkalian dua bentuk linear dengan koefisien bilangan bulat. Hal tersebut hanya dapat dilakukan jika a merupakan ....
Solusi
Verified
a harus merupakan bilangan bulat yang merupakan hasil dari ps + qr, di mana pr=21 dan qs=21 dengan p, q, r, s adalah bilangan bulat.
Pembahasan
Ekspresi kuadratik 21x^2 + ax + 21 dapat dituliskan sebagai perkalian dua bentuk linear dengan koefisien bilangan bulat jika ekspresi tersebut dapat difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s), di mana p, q, r, dan s adalah bilangan bulat. Dalam kasus ini, kita perlu mencari nilai 'a' sehingga: 21x^2 + ax + 21 = (px + q)(rx + s) = prx^2 + (ps + qr)x + qs Dari sini, kita dapat mengidentifikasi: pr = 21 qs = 21 ps + qr = a Kita perlu mencari pasangan faktor bilangan bulat untuk 21 untuk 'p' dan 'r', serta untuk 'q' dan 's'. Pasangan faktor untuk 21 adalah: (1, 21), (3, 7), (7, 3), (21, 1) (-1, -21), (-3, -7), (-7, -3), (-21, -1) Sekarang, mari kita coba beberapa kombinasi: Kasus 1: p=3, r=7 dan q=3, s=7 a = ps + qr = (3)(7) + (3)(7) = 21 + 21 = 42 Jadi, jika a=42, ekspresi menjadi 21x^2 + 42x + 21 = (3x+3)(7x+7) = 21(x+1)^2. Koefisiennya adalah bilangan bulat. Kasus 2: p=3, r=7 dan q=1, s=21 a = ps + qr = (3)(21) + (1)(7) = 63 + 7 = 70 Jadi, jika a=70, ekspresi menjadi 21x^2 + 70x + 21 = (3x+1)(7x+21). Koefisiennya adalah bilangan bulat. Kasus 3: p=3, r=7 dan q=7, s=3 a = ps + qr = (3)(3) + (7)(7) = 9 + 49 = 58 Jadi, jika a=58, ekspresi menjadi 21x^2 + 58x + 21 = (3x+7)(7x+3). Koefisiennya adalah bilangan bulat. Kita juga bisa mendapatkan nilai negatif untuk 'a' jika kita menggunakan faktor negatif: Kasus 4: p=-3, r=-7 dan q=-3, s=-7 a = ps + qr = (-3)(-7) + (-3)(-7) = 21 + 21 = 42 Kasus 5: p=-3, r=-7 dan q=-1, s=-21 a = ps + qr = (-3)(-21) + (-1)(-7) = 63 + 7 = 70 Kasus 6: p=-3, r=-7 dan q=-7, s=-3 a = ps + qr = (-3)(-3) + (-7)(-7) = 9 + 49 = 58 Selain itu, kita bisa menukar peran p, q, r, s. Misalnya, jika p=1, r=21: Kasus 7: p=1, r=21 dan q=3, s=7 a = ps + qr = (1)(7) + (3)(21) = 7 + 63 = 70 Untuk mendapatkan nilai 'a' yang memenuhi syarat, 'a' haruslah hasil dari ps + qr, di mana p, q, r, s adalah faktor bilangan bulat dari 21 sehingga pr=21 dan qs=21. Kemungkinan nilai 'a' adalah hasil penjumlahan dari perkalian pasangan faktor 21 (misalnya 1*21, 3*7, dll) dengan pasangan faktor 21 lainnya, di mana faktor-faktor tersebut dikombinasikan dengan cara ps+qr. Nilai-nilai 'a' yang mungkin adalah: Jika pr=21 dan qs=21: 1. p=1, r=21, q=1, s=21 => a = 1*21 + 1*21 = 42 2. p=1, r=21, q=3, s=7 => a = 1*7 + 3*21 = 7 + 63 = 70 3. p=1, r=21, q=7, s=3 => a = 1*3 + 7*21 = 3 + 147 = 150 4. p=1, r=21, q=21, s=1 => a = 1*1 + 21*21 = 1 + 441 = 442 5. p=3, r=7, q=1, s=21 => a = 3*21 + 1*7 = 63 + 7 = 70 6. p=3, r=7, q=3, s=7 => a = 3*7 + 3*7 = 21 + 21 = 42 7. p=3, r=7, q=7, s=3 => a = 3*3 + 7*7 = 9 + 49 = 58 8. p=3, r=7, q=21, s=1 => a = 3*1 + 21*7 = 3 + 147 = 150 Jika kita juga mempertimbangkan faktor negatif, nilai 'a' bisa negatif. Contoh: p=-3, r=-7, q=3, s=7 a = (-3)(7) + (3)(-7) = -21 + (-21) = -42 Jadi, 'a' merupakan hasil dari ps + qr, di mana p, q, r, s adalah bilangan bulat sedemikian sehingga pr=21 dan qs=21. Ini berarti 'a' haruslah sebuah bilangan bulat yang dapat dibentuk dari kombinasi faktor-faktor 21.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Faktorisasi Aljabar
Section: Faktorisasi Bentuk Kuadratik
Apakah jawaban ini membantu?