(sin 3a-sina)/(cos3a-cosa) = -cotan2a

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus penjumlahan/pengurangan trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri (sin 3a - sin a) / (cos 3a - cos a) = -cotan 2a, kita dapat menggunakan rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri.

Rumus yang relevan adalah:
1. sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
2. cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

Penerapan pada soal:
Pembilang: sin 3a - sin a
Misalkan A = 3a dan B = a.
Maka, sin 3a - sin a = 2 cos((3a+a)/2) sin((3a-a)/2)
= 2 cos(4a/2) sin(2a/2)
= 2 cos(2a) sin(a)

Penyebut: cos 3a - cos a
Misalkan A = 3a dan B = a.
Maka, cos 3a - cos a = -2 sin((3a+a)/2) sin((3a-a)/2)
= -2 sin(4a/2) sin(2a/2)
= -2 sin(2a) sin(a)

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam bentuk pecahan:
(sin 3a - sin a) / (cos 3a - cos a) = (2 cos(2a) sin(a)) / (-2 sin(2a) sin(a))

Kita dapat menyederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2 sin(a) (dengan asumsi sin(a) tidak sama dengan 0):
= cos(2a) / (-sin(2a))
= - (cos(2a) / sin(2a))
= -cotan(2a)

Jadi, terbukti bahwa (sin 3a - sin a) / (cos 3a - cos a) = -cotan 2a.