Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Dalam ekspresi 1/(u^2-25)^(3/2), lakukan substitusi u=5 sec
Pertanyaan
Dalam ekspresi 1/(u^2-25)^(3/2), lakukan substitusi u=5 sec theta (0<theta<pi/2) dan tunjukkan bahwa hasilnya adalah (1/125) cot^3 theta.
Solusi
Verified
Setelah substitusi u=5 sec theta ke dalam ekspresi 1/(u^2-25)^(3/2), ekspresi tersebut disederhanakan menjadi 1/(125 tan^3 theta), yang setara dengan (1/125) cot^3 theta.
Pembahasan
Untuk menyederhanakan ekspresi 1/(u^2-25)^(3/2) dengan substitusi u = 5 sec theta, kita perlu menghitung du/d(theta) terlebih dahulu. Jika u = 5 sec theta, maka du/d(theta) = 5 sec theta tan theta. Selanjutnya, substitusikan u ke dalam ekspresi: u^2 - 25 = (5 sec theta)^2 - 25 = 25 sec^2 theta - 25 = 25 (sec^2 theta - 1) = 25 tan^2 theta Sekarang, substitusikan kembali ke dalam ekspresi awal: 1/(u^2-25)^(3/2) = 1/(25 tan^2 theta)^(3/2) = 1/(5^3 |tan^3 theta|) Karena 0 < theta < pi/2, maka tan theta positif, sehingga |tan^3 theta| = tan^3 theta. 1/(125 tan^3 theta) Kita juga perlu menyertakan du/d(theta) dalam integral jika ini adalah bagian dari integral, tetapi pertanyaan hanya meminta penyederhanaan ekspresi. Jika kita diminta untuk mengintegralkan ekspresi setelah substitusi, kita akan mengalikan dengan du/d(theta) = 5 sec theta tan theta. Namun, jika kita hanya diminta untuk menunjukkan bahwa ekspresi tersebut menjadi sesuatu yang lain setelah substitusi u, maka tampaknya ada kesalahpahaman dalam pertanyaan atau instruksi. Asumsi bahwa pertanyaan ingin kita mengintegralkan: Integral[1/(u^2-25)^(3/2) du] dengan u = 5 sec theta = Integral[1/(25 tan^2 theta)^(3/2) * 5 sec theta tan theta d(theta)] = Integral[1/(125 tan^3 theta) * 5 sec theta tan theta d(theta)] = Integral[5 sec theta tan theta / (125 tan^3 theta) d(theta)] = Integral[sec theta / (25 tan^2 theta) d(theta)] = Integral[(1/cos theta) / (25 sin^2 theta / cos^2 theta) d(theta)] = Integral[cos theta / (25 sin^2 theta) d(theta)] = (1/25) Integral[cot theta csc theta d(theta)] = (1/25) [-csc theta] + C = -csc theta / 25 + C Untuk mengubahnya kembali ke u: Jika u = 5 sec theta, maka sec theta = u/5. cos theta = 5/u. Dengan menggunakan identitas sin^2 theta + cos^2 theta = 1, kita dapatkan: sin^2 theta = 1 - cos^2 theta sin^2 theta = 1 - (5/u)^2 sin^2 theta = 1 - 25/u^2 sin^2 theta = (u^2 - 25)/u^2 sin theta = sqrt(u^2 - 25)/u (karena theta di kuadran I, sin theta positif) csc theta = u / sqrt(u^2 - 25) Jadi, hasil integralnya adalah: - (u / sqrt(u^2 - 25)) / 25 + C. Namun, jika pertanyaan hanya meminta untuk menyederhanakan ekspresi 1/(u^2-25)^(3/2) setelah substitusi u=5 sec theta, dan hasil yang diharapkan adalah cotan^3 theta/125, maka ada kemungkinan besar pertanyaan tersebut salah atau saya salah menafsirkan. Mari kita periksa kembali substitusi: 1/(u^2-25)^(3/2) = 1/((5 sec theta)^2 - 25)^(3/2) = 1/(25 sec^2 theta - 25)^(3/2) = 1/(25(sec^2 theta - 1))^(3/2) = 1/(25 tan^2 theta)^(3/2) = 1 / (5^3 * (tan^2 theta)^(3/2)) = 1 / (125 * |tan^3 theta|) Karena 0 < theta < pi/2, tan theta > 0, jadi |tan^3 theta| = tan^3 theta. Ekspresi tersebut menjadi 1 / (125 tan^3 theta). Jika tujuannya adalah untuk mengintegralkan dan mendapatkan hasil yang melibatkan cotan^3 theta, maka ada langkah yang hilang atau salah dalam pertanyaan. Namun, jika hanya substitusi yang diminta, hasilnya adalah 1/(125 tan^3 theta) atau (1/125) cot^3 theta.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Integral Substitusi Trigonometri
Section: Substitusi Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?