Empat bilangan merupakan sebuah barisan aritmetika. Apabila

Keempat bilangan tersebut adalah n, 2n, 3n, dan 4n, di mana n adalah suku pertama barisan aritmetika tersebut (n ≠ 0).

Pembahasan

Misalkan keempat bilangan dalam barisan aritmetika tersebut adalah a, a+d, a+2d, a+3d, dengan 'a' adalah suku pertama dan 'd' adalah beda.

Menurut soal, jika bilangan ketiga ditambah dengan bilangan pertama, dan bilangan keempat dikalikan dengan 2, maka diperoleh empat bilangan yang merupakan barisan geometri.

Bilangan ketiga ditambah bilangan pertama: (a+2d) + a = 2a + 2d
Bilangan keempat dikalikan dengan 2: 2(a+3d) = 2a + 6d

Empat bilangan baru yang merupakan barisan geometri adalah:
Suku pertama: a
Suku kedua: a+d
Suku ketiga: 2a + 2d
Suku keempat: 2a + 6d

Dalam barisan geometri, perbandingan antara suku yang berdekatan adalah konstan (rasio, r).

Maka, kita punya:
(a+d) / a = (2a + 2d) / (a+d) = (2a + 6d) / (2a + 2d)

Mari kita gunakan dua perbandingan pertama:
(a+d) / a = (2a + 2d) / (a+d)
(a+d)^2 = a(2a + 2d)
a^2 + 2ad + d^2 = 2a^2 + 2ad
-a^2 + d^2 = 0
d^2 = a^2
Ini berarti d = a atau d = -a.

Kasus 1: d = a
Jika d = a, maka barisan aritmetikanya menjadi: a, 2a, 3a, 4a.
Empat bilangan baru yang merupakan barisan geometri adalah:
a, a+a, 2a+2a, 2a+6a
a, 2a, 4a, 8a
Ini adalah barisan geometri dengan rasio r = 2. Suku pertama adalah a.
Kita perlu memastikan ini konsisten. Jika a=1, d=1, barisan aritmetikanya 1, 2, 3, 4. Bilangan baru: 1, 2, 2(3)=6, 2(4)=8. Barisan 1, 2, 6, 8 bukan geometri. Ada yang salah dalam interpretasi awal.

Mari kita ulangi interpretasi soal: "Apabila bilangan ketiga ditambah dengan bilangan pertama, bilangan keempat dikalikan dengan 2, maka diperoleh empat bilangan yang merupakan barisan geometri."

Ini berarti urutan bilangannya adalah:
Bilangan 1: a
Bilangan 2: a+d
Bilangan 3: a+2d
Bilangan 4: a+3d

Bilangan baru:
Suku Aritmetika 1: a
Suku Aritmetika 2: a+d
Suku Aritmetika 3: (a+2d) + a = 2a+2d
Suku Aritmetika 4: 2(a+3d) = 2a+6d

Empat bilangan ini adalah barisan GEOMETRI: A, B, C, D.
A = a
B = a+d
C = 2a+2d
D = 2a+6d

Syarat barisan geometri: B/A = C/B = D/C

1. B/A = C/B
(a+d)/a = (2a+2d)/(a+d)
(a+d)^2 = a(2a+2d)
a^2 + 2ad + d^2 = 2a^2 + 2ad
d^2 = a^2  => d = a atau d = -a

2. C/B = D/C
(2a+2d)/(a+d) = (2a+6d)/(2a+2d)
2(a+d)/(a+d) = (2a+6d)/(2(a+d))
2 = (2a+6d)/(2(a+d))
4(a+d) = 2a+6d
4a + 4d = 2a + 6d
2a = 2d
a = d

Dari kedua syarat di atas, kita mendapatkan bahwa a = d.

Jika a = d, maka barisan aritmetika awalnya adalah: a, a+a, a+2a, a+3a => a, 2a, 3a, 4a.

Empat bilangan baru yang merupakan barisan geometri adalah:
Suku 1: a
Suku 2: a+a = 2a
Suku 3: 2a+2a = 4a
Suku 4: 2a+6a = 8a

Barisan geometri ini adalah a, 2a, 4a, 8a. Rasio geometrinya adalah 2.

Karena kita tidak diberikan nilai spesifik untuk 'a' atau 'd', ada tak terhingga solusi yang memenuhi. Namun, jika kita diminta untuk mencari salah satu contohnya, kita bisa memilih nilai 'a' sembarang (selain 0).

Misalnya, jika kita pilih a = 1:
Maka d = 1.
Barisan aritmetikanya adalah: 1, 2, 3, 4.

Bilangan ketiga ditambah pertama: 3 + 1 = 4.
Bilangan keempat dikali 2: 2 * 4 = 8.

Empat bilangan baru: 1, 2, 4, 8. Ini adalah barisan geometri dengan rasio 2.

Jadi, keempat bilangan dalam barisan aritmetika itu adalah 1, 2, 3, 4 (atau kelipatan dari ini, misalnya 2, 4, 6, 8, dst.).

Kita bisa menyatakan solusinya secara umum dengan a = d. Maka empat bilangan itu adalah n, 2n, 3n, 4n, dimana n adalah bilangan real (n ≠ 0).