Expand (1+3x+4x^2)^4 in ascending power of x as for as the

1 + 12x + 70x^2, aproksimasi 1.1270

Pembahasan

Untuk mengekspansi (1+3x+4x^2)^4 dalam pangkat x yang naik hingga suku x^2, kita dapat menggunakan teorema binomial atau ekspansi deret.

Cara 1: Menggunakan Teorema Binomial Berulang
Misalkan y = 3x + 4x^2. Maka ekspansi menjadi (1+y)^4.
(1+y)^4 = C(4,0) * 1^4 * y^0 + C(4,1) * 1^3 * y^1 + C(4,2) * 1^2 * y^2 + ...
(1+y)^4 = 1 + 4y + 6y^2 + ...

Sekarang substitusikan kembali y = 3x + 4x^2:
1 + 4(3x + 4x^2) + 6(3x + 4x^2)^2 + ...
1 + 12x + 16x^2 + 6((3x)^2 + 2(3x)(4x^2) + (4x^2)^2) + ...
1 + 12x + 16x^2 + 6(9x^2 + 24x^3 + 16x^4) + ...
1 + 12x + 16x^2 + 54x^2 + 144x^3 + 96x^4 + ...

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
1 + 12x + (16 + 54)x^2 + ...
1 + 12x + 70x^2 + ...

Jadi, ekspansi (1+3x+4x^2)^4 hingga suku x^2 adalah 1 + 12x + 70x^2.

Untuk mencari aproksimasi (1.0304)^4 dengan substitusi yang sesuai:
Kita ingin 1 + 3x + 4x^2 ≈ 1.0304.
Jika kita pilih x yang kecil, 1 + 3x ≈ 1.0304, maka 3x ≈ 0.0304, sehingga x ≈ 0.01013.
Namun, pendekatan yang lebih langsung adalah:
Misalkan 1 + 3x = 1.03, maka 3x = 0.03, sehingga x = 0.01.
Substitusikan x = 0.01 ke dalam ekspansi:
(1.0304)^4 ≈ 1 + 12(0.01) + 70(0.01)^2
≈ 1 + 0.12 + 70(0.0001)
≈ 1 + 0.12 + 0.0070
≈ 1.1270

Untuk mendapatkan nilai 1.0304, kita perlu menyesuaikan ekspansi.
Kita punya (1+3x+4x^2)^4.
Jika kita ingin mendapatkan 1.0304, kita bisa coba samakan 1+3x = 1.0304, maka 3x = 0.0304, x = 0.010133...

Mari kita gunakan substitusi yang lebih sederhana, yaitu memilih nilai x sedemikian rupa sehingga 1+3x+4x^2 menjadi bentuk yang mudah dihitung pangkat empatnya dan mendekati nilai yang diberikan.
Jika kita ingin 1+3x+4x^2 = 1.0304.
Jika kita buat 3x = 0.0304, maka x = 0.010133... nilai ini tidak bulat.

Mari kita gunakan ekspansi yang kita dapatkan: 1 + 12x + 70x^2.
Kita ingin mencari nilai x sehingga 1+3x+4x^2 = 1.0304.
Jika kita substitusi x = 0.01:
1 + 3(0.01) + 4(0.01)^2 = 1 + 0.03 + 4(0.0001) = 1 + 0.03 + 0.0004 = 1.0304.

Jadi, substitusi yang sesuai adalah x = 0.01.

Aproksimasi (1.0304)^4 ≈ 1 + 12(0.01) + 70(0.01)^2
≈ 1 + 0.12 + 70(0.0001)
≈ 1 + 0.12 + 0.0070
≈ 1.1270