Fungsi f(x)=2/3x^3+3/2x^2-9x-2 turun pada interval ....

Fungsi turun pada interval -3 < x < 3/2

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 9x - 2$ turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan pertamanya bernilai negatif.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari f(x).
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 9x - 2)$
$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x - 9$
$f'(x) = 2x^2 + 3x - 9$

Langkah 2: Tentukan kapan f'(x) < 0 untuk mencari interval penurunan.
Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan $2x^2 + 3x - 9 < 0$.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, pertama-tama kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 + 3x - 9 = 0$.
Kita bisa menggunakan rumus kuadrat atau faktorisasi.
Mari kita gunakan faktorisasi:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $2 \cdot (-9) = -18$ dan jika dijumlahkan menghasilkan 3. Bilangan tersebut adalah 6 dan -3.
$2x^2 + 6x - 3x - 9 = 0$
$2x(x + 3) - 3(x + 3) = 0$
$(2x - 3)(x + 3) = 0$

Akar-akarnya adalah $2x - 3 = 0$ atau $x + 3 = 0$.
Maka, $x = 3/2$ atau $x = -3$.

Karena parabola $f'(x) = 2x^2 + 3x - 9$ terbuka ke atas (karena koefisien $x^2$ positif), maka nilai $f'(x)$ akan negatif di antara akar-akarnya.

Jadi, fungsi $f(x)$ turun pada interval $-3 < x < \frac{3}{2}$.