Fungsi f(x)=akar(sin^2 x+(x/2)), x>0 turun pada

Fungsi turun pada interval $(\frac{7\pi}{12} + k\pi, \frac{11\pi}{12} + k\pi)$ untuk $k = 0, 1, 2, ...$

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi $f(x) = \sqrt{\sin^2 x + \frac{x}{2}}}$ dengan $x > 0$ turun, kita perlu menganalisis tanda dari turunan pertamanya, $f'(x)$.

Fungsi $f(x)$ akan turun jika $f'(x) < 0$.

Langkah 1: Cari turunan pertama $f'(x)$ menggunakan aturan rantai.
Misalkan $u = \sin^2 x + \frac{x}{2}$. Maka $f(x) = \sqrt{u} = u^{1/2}$.
Turunan $f(x)$ terhadap $u$ adalah $\frac{df}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\sin^2 x + \frac{x}{2}}}}$.

Turunan $u$ terhadap $x$ adalah $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^2 x + \frac{x}{2})$.
$\frac{du}{dx} = 2 \sin x \cos x + \frac{1}{2}$.
Menggunakan identitas trigonometri $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$, maka $\frac{du}{dx} = \sin(2x) + \frac{1}{2}$.

Menurut aturan rantai, $f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin^2 x + \frac{x}{2}}}} \cdot (\sin(2x) + \frac{1}{2})$.

Langkah 2: Tentukan kapan $f'(x) < 0$.
$f'(x) < 0 
\implies \frac{\sin(2x) + \frac{1}{2}}{2\sqrt{\sin^2 x + \frac{x}{2}}}} < 0$.

Karena penyebut $2\sqrt{\sin^2 x + \frac{x}{2}}}}$ selalu positif (karena $\sin^2 x \ge 0$ dan $x > 0$, sehingga $\sin^2 x + \frac{x}{2}} > 0$), maka tanda $f'(x)$ ditentukan oleh tanda pembilangnya, yaitu $\sin(2x) + \frac{1}{2}$.

Fungsi $f(x)$ turun ketika $\sin(2x) + \frac{1}{2} < 0$.
$\sin(2x) < -\frac{1}{2}$.

Kita perlu mencari nilai $2x$ di mana sinusnya kurang dari $-\frac{1}{2}$.
Nilai sinus bernilai $-\frac{1}{2}$ pada sudut $\frac{7\pi}{6}$ dan $\frac{11\pi}{6}$ dalam satu putaran (0 hingga $2\pi$).

Jadi, $\sin(2x) < -\frac{1}{2}$ terjadi ketika $2x$ berada di antara $\frac{7\pi}{6}$ dan $\frac{11\pi}{6}$, atau secara umum:
$\frac{7\pi}{6} + 2k\pi < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Membagi seluruh ketidaksamaan dengan 2:
$\frac{7\pi}{12} + k\pi < x < \frac{11\pi}{12} + k\pi$.

Karena diberikan kondisi $x > 0$, kita perlu mempertimbangkan nilai $k$ yang menghasilkan $x > 0$.

Untuk $k=0$: $\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}$. Interval ini memenuhi $x > 0$.

Untuk $k=1$: $\frac{7\pi}{12} + \pi < x < \frac{11\pi}{12} + \pi$
$\frac{19\pi}{12} < x < \frac{23\pi}{12}$. Interval ini juga memenuhi $x > 0$.

Jadi, fungsi $f(x)$ turun pada interval $\frac{7\pi}{12} + k\pi < x < \frac{11\pi}{12} + k\pi$ untuk $k = 0, 1, 2, ...$ (karena $x > 0$).

Contoh interval turun pertama adalah $(\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12})$.

Tanpa pilihan jawaban spesifik, jawaban umumnya adalah gabungan dari interval-interval tersebut.