Fungsi f(x)=akar((x^2-2x+1)/(16-x^2)) terdefinisikan bila

Fungsi terdefinisi jika (x^2-2x+1)/(16-x^2) >= 0 dan 16-x^2 != 0. Ini dipenuhi ketika -4 < x < 4.

Pembahasan

Fungsi f(x) = akar((x^2 - 2x + 1) / (16 - x^2)) terdefinisi jika:
1. Ekspresi di dalam akar kuadrat harus non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan 0).
2. Penyebut tidak boleh nol.

Mari kita analisis kedua kondisi tersebut:

Kondisi 1: (x^2 - 2x + 1) / (16 - x^2) >= 0
Perhatikan bahwa pembilang, x^2 - 2x + 1, adalah bentuk kuadrat sempurna yang dapat difaktorkan menjadi (x - 1)^2. Karena kuadrat dari bilangan real selalu non-negatif, maka (x - 1)^2 >= 0 untuk semua nilai x.

Oleh karena itu, agar keseluruhan pecahan non-negatif, penyebutnya (16 - x^2) harus positif, karena pembilang sudah pasti non-negatif (kecuali jika x=1, di mana pembilangnya 0).

Kondisi 2: 16 - x^2 != 0
Ini berarti x^2 != 16, sehingga x != 4 dan x != -4.

Sekarang, kita perlu memastikan bahwa penyebutnya positif agar pecahan menjadi non-negatif (karena pembilang sudah non-negatif).

16 - x^2 > 0
x^2 < 16
-4 < x < 4

Namun, kita juga harus mempertimbangkan kasus ketika pembilang adalah nol, yaitu x = 1. Ketika x = 1, nilai fungsi adalah akar(0 / (16 - 1)) = akar(0) = 0, yang terdefinisi. Jadi, x = 1 adalah bagian dari domain.

Menggabungkan semua kondisi:
Kita memerlukan -4 < x < 4, dan x tidak boleh sama dengan -4 atau 4 (yang sudah tercakup dalam ketidaksamaan).
Kita juga perlu memastikan bahwa penyebutnya tidak nol, yang berarti x != 4 dan x != -4.

Jadi, fungsi terdefinisi ketika -4 < x < 4.