Fungsi f(x)=-x^3-3x^2+9x-15 didefinisikan pada interval

a. -3 < x < 1, b. -170

Pembahasan

Untuk menentukan interval fungsi f naik dan nilai minimumnya:

a. Interval fungsi f naik.
Fungsi f(x) naik jika turunan pertamanya, f'(x), lebih besar dari 0.

Turunan pertama dari f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x - 15 adalah:
f'(x) = -3x^2 - 6x + 9

Sekarang, kita cari kapan f'(x) > 0:
-3x^2 - 6x + 9 > 0
Bagi kedua sisi dengan -3 dan balik arah pertidaksamaan:
x^2 + 2x - 3 < 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(x + 3)(x - 1) < 0

Nilai x yang membuat ekspresi ini nol adalah x = -3 dan x = 1. Kita uji interval:
- Jika x < -3 (misal x = -4): (-4+3)(-4-1) = (-1)(-5) = 5 > 0 (tidak memenuhi)
- Jika -3 < x < 1 (misal x = 0): (0+3)(0-1) = (3)(-1) = -3 < 0 (memenuhi)
- Jika x > 1 (misal x = 2): (2+3)(2-1) = (5)(1) = 5 > 0 (tidak memenuhi)

Jadi, interval fungsi f naik adalah -3 < x < 1.

b. Nilai minimum fungsi.
Untuk mencari nilai minimum, kita perlu memeriksa nilai fungsi pada titik kritis (dimana f'(x) = 0 atau tidak terdefinisi) dan pada batas interval yang diberikan (-5 <= x <= 5).

Titik kritis adalah saat f'(x) = 0:
-3x^2 - 6x + 9 = 0
x^2 + 2x - 3 = 0
(x + 3)(x - 1) = 0
x = -3 atau x = 1.

Kedua titik kritis ini berada dalam interval [-5, 5].

Sekarang, hitung nilai f(x) pada titik kritis dan batas interval:
- f(-5) = -(-5)^3 - 3(-5)^2 + 9(-5) - 15 = -(-125) - 3(25) - 45 - 15 = 125 - 75 - 45 - 15 = 125 - 135 = -10
- f(-3) = -(-3)^3 - 3(-3)^2 + 9(-3) - 15 = -(-27) - 3(9) - 27 - 15 = 27 - 27 - 27 - 15 = -42
- f(1) = -(1)^3 - 3(1)^2 + 9(1) - 15 = -1 - 3 + 9 - 15 = -10
- f(5) = -(5)^3 - 3(5)^2 + 9(5) - 15 = -125 - 3(25) + 45 - 15 = -125 - 75 + 45 - 15 = -200 + 30 = -170

Membandingkan nilai-nilai f(x): -10, -42, -10, -170. Nilai minimumnya adalah -170.

Jadi:
a. Interval fungsi f naik adalah -3 < x < 1.
b. Nilai minimum fungsi adalah -170.