Fungsi f(x)=x^3+9x^2+15x-2 mempunyai...

Titik maksimum lokal di (-5, 23), titik minimum lokal di (-1, -9), dan titik belok di (-3, 7).

Pembahasan

Untuk menganalisis fungsi f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x - 2, kita dapat mencari turunan pertama dan kedua untuk menentukan titik kritis dan titik belok.

Turunan pertama:
f'(x) = 3x^2 + 18x + 15
Untuk mencari titik kritis, kita setel f'(x) = 0:
3x^2 + 18x + 15 = 0
Bagi dengan 3:
x^2 + 6x + 5 = 0
(x + 1)(x + 5) = 0
x = -1 atau x = -5

Untuk menentukan apakah ini titik maksimum atau minimum, kita gunakan turunan kedua:
f''(x) = 6x + 18

Jika x = -1:
f''(-1) = 6(-1) + 18 = -6 + 18 = 12. Karena f''(-1) > 0, maka ada titik minimum lokal di x = -1.
Nilai minimum lokal: f(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 15(-1) - 2 = -1 + 9 - 15 - 2 = -9.

Jika x = -5:
f''(-5) = 6(-5) + 18 = -30 + 18 = -12. Karena f''(-5) < 0, maka ada titik maksimum lokal di x = -5.
Nilai maksimum lokal: f(-5) = (-5)^3 + 9(-5)^2 + 15(-5) - 2 = -125 + 9(25) - 75 - 2 = -125 + 225 - 75 - 2 = 23.

Turunan kedua:
f''(x) = 6x + 18
Untuk mencari titik belok, kita setel f''(x) = 0:
6x + 18 = 0
6x = -18
x = -3

Untuk memastikan itu titik belok, kita periksa turunan ketiga:
f'''(x) = 6
Karena f'''(-3) tidak sama dengan 0, maka ada titik belok di x = -3.
Nilai pada titik belok: f(-3) = (-3)^3 + 9(-3)^2 + 15(-3) - 2 = -27 + 9(9) - 45 - 2 = -27 + 81 - 45 - 2 = 7.

Jadi, fungsi f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x - 2 memiliki:
- Titik maksimum lokal di (-5, 23)
- Titik minimum lokal di (-1, -9)
- Titik belok di (-3, 7)