Gambar di bawah merupakan suatu kerucut dengan AB=AC=BC=d.

Volume bola adalah (4 * pi * d^3) / 81.

Pembahasan

Untuk menentukan volume bola yang berada di dalam kerucut, kita perlu mencari jari-jari bola terlebih dahulu. Diketahui kerucut memiliki alas dengan sisi $AB=AC=BC=d$, yang berarti alasnya adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $d$. Kerucut ini adalah kerucut tegak, yang berarti titik puncaknya (misalnya A) berada tepat di atas pusat alas.

1.  **Mencari Jari-jari Alas Kerucut (r):**
    Alas kerucut adalah segitiga sama sisi ABC dengan sisi $d$. Jari-jari lingkaran alas kerucut adalah jari-jari lingkaran luar (circumradius) dari segitiga sama sisi ABC.
    Rumus jari-jari lingkaran luar segitiga sama sisi adalah $R = \frac{abc}{4L}$, di mana a, b, c adalah sisi segitiga dan L adalah luas segitiga.
    Untuk segitiga sama sisi dengan sisi $d$, luasnya $L = \frac{\sqrt{3}}{4}d^2$.
    Maka, jari-jari alas kerucut $r = R = \frac{d 	imes d 	imes d}{4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}d^2} = \frac{d^3}{\sqrt{3}d^2} = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

2.  **Mencari Tinggi Kerucut (h):**
    Misalkan T adalah titik puncak kerucut dan O adalah pusat alas (titik berat segitiga sama sisi). Tinggi kerucut adalah TO = $h$.
    Jarak dari titik sudut ke titik berat segitiga sama sisi adalah $\frac{2}{3}$ dari tingginya. Tinggi segitiga sama sisi dengan sisi $d$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}d$.
    Jadi, jarak dari titik sudut (misalnya A) ke pusat alas O adalah $AO = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}d = \frac{\sqrt{3}}{3}d = \frac{d}{\sqrt{3}}$.
    Perhatikan bahwa $AO$ ini sama dengan jari-jari alas kerucut $r$. Ini menegaskan bahwa O adalah pusat lingkaran alas.
    Sekarang kita perlu mencari tinggi kerucut $h$. Informasi $AB=AC=BC=d$ merujuk pada alasnya. Jika $d$ adalah diameter alas, maka $r = d/2$. Namun, dari gambar dan konteks soal (seringkali sisi segitiga alas merujuk pada diameter jika alasnya lingkaran), jika $d$ adalah diameter alas, maka $r=d/2$. 
    Mari kita asumsikan $d$ adalah sisi dari segitiga sama sisi yang membentuk alas kerucut, dan karena bola menyinggung alas, maka alas kerucut adalah lingkaran yang melalui titik A, B, C.
    Dalam kasus ini, jari-jari alas kerucut adalah $r = \frac{d}{\sqrt{3}}$.
    Garis pelukis kerucut (s) adalah jarak dari puncak ke tepi alas. Jika $d$ adalah sisi segitiga sama sisi alas, maka garis pelukisnya akan bervariasi tergantung pada segitiga tersebut. Namun, soal menyatakan 'AB=AC=BC=d', yang biasanya merujuk pada sisi segitiga alas. Jika kerucut tersebut memiliki alas lingkaran yang pas dengan segitiga sama sisi tersebut, maka $d$ adalah tali busur. Namun, soal biasanya merujuk pada garis pelukis jika ini adalah segitiga sama sisi.

    **Interpretasi yang Lebih Umum:** Dalam soal kerucut yang dikaitkan dengan segitiga, segitiga tersebut seringkali adalah penampang melintang dari kerucut melalui puncaknya, atau alasnya adalah lingkaran yang titik-titik pada kelilingnya membentuk segitiga sama sisi.

    Jika 'AB=AC=BC=d' merujuk pada garis pelukisnya ($s=d$), dan alasnya adalah lingkaran, maka kita perlu hubungan lain. 

    **Asumsi yang Paling Mungkin:** Segitiga ABC adalah penampang aksial kerucut, di mana AB dan AC adalah garis pelukis ($s$) dan BC adalah diameter alas ($2r$). Jika AB=AC=BC=d, maka $s=d$ dan $2r=d$, sehingga $r=d/2$.
    Dengan $s=d$ dan $r=d/2$, tinggi kerucut $h$ dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi, jari-jari, dan garis pelukis:
    $s^2 = r^2 + h^2$
    $d^2 = (d/2)^2 + h^2$
    $d^2 = d^2/4 + h^2$
    $h^2 = d^2 - d^2/4 = 3d^2/4$
    $h = \frac{\sqrt{3}}{2}d$

3.  **Mencari Jari-jari Bola (R_bola):**
    Bola menyinggung selimut dan alas kerucut. Jari-jari bola ($R_{bola}$) dapat ditemukan dengan melihat penampang melintang kerucut (segitiga siku-siku) dan lingkaran dalamnya (penampang bola).
    Dalam penampang aksial (segitiga sama kaki dengan tinggi $h$, alas $2r$, dan sisi miring $s$), bola akan terlihat sebagai lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga. Namun, soal menyatakan bola menyinggung alas dan selimut. Ini berarti pusat bola terletak pada sumbu simetri kerucut.
    Perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi kerucut ($h$), jari-jari alas ($r$), dan garis pelukis ($s$). Lingkaran (penampang bola) menyinggung sisi miring (garis pelukis) dan alas (jari-jari alas).
    Dalam segitiga siku-siku dengan sisi $r$, $h$, $s$, jari-jari lingkaran dalam (inradius) dari segitiga siku-siku tersebut adalah $R_{bola}$. Namun, bola menyinggung alas dan selimut, bukan ketiga sisi segitiga penampang.

    Gambar yang benar adalah segitiga siku-siku dengan sisi $r$, $h$, dan $s$. Bola di dalamnya menyinggung sisi $h$, sisi $r$ (pada alas), dan sisi $s$ (selimut).
    Pusat bola berada pada ketinggian $R_{bola}$ dari alas.
    Hubungan antara $r$, $h$, $s$, dan $R_{bola}$ dapat dilihat dari kesamaan segitiga.
    Perhatikan segitiga siku-siku utama (sudut di pusat alas, puncak, dan tepi alas) dengan sisi $r, h, s$. Dan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh pusat bola, titik singgung pada garis pelukis, dan proyeksi pusat bola ke garis pelukis.
    Mari gunakan kesamaan dua segitiga siku-siku:
    Segitiga 1: Puncak kerucut, pusat alas, tepi alas. Sisi: $h, r, s$.
    Segitiga 2: Pusat bola, titik singgung pada garis pelukis, titik pada sumbu sejajar alas. Sisi: $R_{bola}, s-R_{bola}, ?$ 

    Cara lain: Pusat bola berada pada sumbu kerucut, sejauh $R_{bola}$ dari alas. Jarak dari puncak kerucut ke pusat bola adalah $h - R_{bola}$.
    Perhatikan segitiga sebangun antara segitiga siku-siku besar (dengan sisi $h, r, s$) dan segitiga siku-siku kecil yang dibentuk oleh pusat bola, titik singgung pada selimut kerucut, dan garis tegak lurus dari pusat bola ke garis pelukis.
    $$ \frac{R_{bola}}{r} = \frac{s-R_{bola}}{s} $$ 
    $$ s \times R_{bola} = r(s-R_{bola}) $$ 
    $$ s \times R_{bola} = rs - r \times R_{bola} $$ 
    $$ s \times R_{bola} + r \times R_{bola} = rs $$ 
    $$ R_{bola}(s+r) = rs $$ 
    $$ R_{bola} = \frac{rs}{s+r} $$ 
    Substitusikan $s=d$ dan $r=d/2$:
    $$ R_{bola} = \frac{(d/2) 	imes d}{d + d/2} $$ 
    $$ R_{bola} = rac{d^2/2}{3d/2} $$ 
    $$ R_{bola} = rac{d^2}{2} 	imes rac{2}{3d} $$ 
    $$ R_{bola} = \frac{d}{3} $$ 

4.  **Hitung Volume Bola:**
    Volume bola ($V_{bola}$) dihitung dengan rumus $V_{bola} = \frac{4}{3}\pi R_{bola}^3$.
    $$ V_{bola} = \frac{4}{3}\pi (\frac{d}{3})^3 $$ 
    $$ V_{bola} = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{27} $$ 
    $$ V_{bola} = \frac{4\pi d^3}{81} $$ 

Jadi, volume bola tersebut adalah $\frac{4\pi d^3}{81}$.