Gambarlah grafik fungsinya, kemudian tentukan daerah asal

Daerah Asal: {x | x ≠ 6, x ≠ -1, x ∈ R}. Range: {y | y ∈ R}. Grafik dapat digambar dengan memperhatikan titik potong sumbu, asimtot, dan beberapa titik bantu.

Pembahasan

Untuk menggambar grafik fungsi $f(x)=(x^2+2x-3)/(x^2-5x-6)$ dan menentukan daerah asal serta rangenya, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  **Menentukan Daerah Asal (Domain)**:
    Fungsi rasional tidak terdefinisi jika penyebutnya bernilai nol. Kita perlu mencari nilai $x$ yang membuat $x^2-5x-6 = 0$.
    Faktorkan persamaan kuadrat: $(x-6)(x+1) = 0$.
    Jadi, $x=6$ atau $x=-1$.
    Daerah asal fungsi adalah semua bilangan real kecuali 6 dan -1. Ditulis sebagai Df = {x | x ≠ 6, x ≠ -1, x ∈ R}.

2.  **Menentukan Range**: 
    Range adalah himpunan semua nilai output (y) yang mungkin dari fungsi. Menentukan range fungsi rasional bisa kompleks. Salah satu cara adalah dengan mencoba menyelesaikan persamaan $y = f(x)$ untuk $x$. 
    $y = (x^2+2x-3)/(x^2-5x-6)$
    $y(x^2-5x-6) = x^2+2x-3$
    $yx^2 - 5yx - 6y = x^2+2x-3$
    $yx^2 - x^2 - 5yx - 2x - 6y + 3 = 0$
    $x^2(y-1) - x(5y+2) + (-6y+3) = 0$
    Agar $x$ bernilai real, diskriminan dari persamaan kuadrat ini harus lebih besar dari atau sama dengan nol ($\Delta \geq 0$).
    $\Delta = b^2 - 4ac = (-(5y+2))^2 - 4(y-1)(-6y+3) \geq 0$
    $(25y^2 + 20y + 4) - 4(-6y^2 + 3y + 6y - 3) \geq 0$
    $25y^2 + 20y + 4 - 4(-6y^2 + 9y - 3) \geq 0$
    $25y^2 + 20y + 4 + 24y^2 - 36y + 12 \geq 0$
    $49y^2 - 16y + 16 \geq 0$
    Diskriminan dari kuadratik dalam $y$ ini adalah $D_y = (-16)^2 - 4(49)(16) = 256 - 3136 = -2880$. Karena koefisien $y^2$ positif (49) dan diskriminannya negatif (-2880), maka $49y^2 - 16y + 16$ selalu positif untuk semua nilai $y$. 
    Namun, kita perlu memeriksa kasus ketika $y-1=0$, yaitu $y=1$. Jika $y=1$, persamaan menjadi $-x(5(1)+2) + (-6(1)+3) = 0 
ightarrow -7x - 3 = 0 
ightarrow x = -3/7$. Karena $x=-3/7$ adalah nilai real yang valid dan bukan dari nilai yang membuat penyebut nol, maka $y=1$ termasuk dalam range.
    Oleh karena itu, range fungsi adalah semua bilangan real. Ditulis sebagai Rf = {y | y ∈ R}.

3.  **Menggambar Grafik**: 
    Untuk menggambar grafik, kita perlu mencari titik potong sumbu, asimtot, dan beberapa titik bantu.
    *   **Titik Potong Sumbu Y**: Set $x=0$. $f(0) = (0^2+2(0)-3)/(0^2-5(0)-6) = -3/-6 = 1/2$. Titik potong sumbu Y adalah (0, 1/2).
    *   **Titik Potong Sumbu X**: Set $f(x)=0$. $(x^2+2x-3)/(x^2-5x-6) = 0$. Ini berarti $x^2+2x-3 = 0$. Faktorkan: $(x+3)(x-1) = 0$. Jadi, $x=-3$ atau $x=1$. Titik potong sumbu X adalah (-3, 0) dan (1, 0).
    *   **Asimtot Vertikal**: Berasal dari nilai $x$ yang membuat penyebut nol, yaitu $x=6$ dan $x=-1$.
    *   **Asimtot Horizontal**: Karena derajat pembilang dan penyebut sama (yaitu 2), asimtot horizontalnya adalah $y = 	ext{koefisien } x^2 	ext{ pembilang} / 	ext{koefisien } x^2 	ext{ penyebut} = 1/1 = 1$.
    *   **Titik Bantu**: Ambil beberapa nilai $x$ di sekitar asimtot dan titik potong untuk mendapatkan gambaran bentuk kurva.
    Grafik akan menunjukkan kurva hiperbolik dengan asimtot vertikal di $x=-1$ dan $x=6$, serta asimtot horizontal di $y=1$. Fungsi akan memotong sumbu-x di $x=-3$ dan $x=1$, serta sumbu-y di $y=1/2$.