Dalam suatu bazar, diobral tiga macam paket I, II, dan III

a. Persamaan matriks: [[3, 2, 2], [4, 1, 2], [2, 1, 3]] [x, y, z]' = [820000, 800000, 650000]'. b. Harga kemeja Rp 120.000, celana Rp 140.000, kaus Rp 90.000.

Pembahasan

Mari kita pecah masalah ini menjadi dua bagian:

a.  **Menyatakan masalah dalam bentuk persamaan matriks:**
    Misalkan:
x = harga satu kemeja
y = harga satu celana
z = harga satu kaus

Dari tabel yang diberikan, kita dapat menyusun sistem persamaan linear:
Paket I: 3x + 2y + 2z = 820.000
Paket II: 4x + 1y + 2z = 800.000
Paket III: 2x + 1y + 3z = 650.000

Dalam bentuk persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai AX = B, di mana:
A = matriks koefisien
X = matriks variabel
B = matriks konstanta

[
  [3, 2, 2],
  [4, 1, 2],
  [2, 1, 3]
]

[
  [x],
  [y],
  [z]
]

[
  [820000],
  [800000],
  [650000]
]

Jadi, persamaan matriksnya adalah:

$ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 820000 \\ 800000 \\ 650000 \end{pmatrix} $

b.  **Menghitung harga tiap potong pakaian:**
    Untuk mencari harga tiap potong pakaian (x, y, z), kita perlu menyelesaikan persamaan matriks di atas. Salah satu caranya adalah dengan mencari invers dari matriks A (A⁻¹) lalu mengalikannya dengan matriks B: X = A⁻¹B.

    Langkah-langkah penyelesaian:
    1.  Hitung determinan matriks A (det(A)).
        det(A) = 3(1*3 - 2*1) - 2(4*3 - 2*2) + 2(4*1 - 1*2)
        det(A) = 3(3 - 2) - 2(12 - 4) + 2(4 - 2)
        det(A) = 3(1) - 2(8) + 2(2)
        det(A) = 3 - 16 + 4
        det(A) = -9

    2.  Karena determinan tidak nol (det(A) = -9), maka invers matriks A ada.

    3.  Hitung matriks adjoin A (adj(A)). Ini melibatkan perhitungan matriks kofaktor terlebih dahulu.
        Kofaktor C₁₁ = +(1*3 - 2*1) = 1
        Kofaktor C₁₂ = -(4*3 - 2*2) = -8
        Kofaktor C₁₃ = +(4*1 - 1*2) = 2
        Kofaktor C₂₁ = -(2*3 - 2*1) = -4
        Kofaktor C₂₂ = +(3*3 - 2*2) = 5
        Kofaktor C₂₃ = -(3*1 - 2*2) = 1
        Kofaktor C₃₁ = +(2*2 - 2*1) = 2
        Kofaktor C₃₂ = -(3*2 - 2*4) = 2
        Kofaktor C₃₃ = +(3*1 - 2*4) = -5

        Matriks Kofaktor:
        $ \begin{pmatrix} 1 & -8 & 2 \\ -4 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & -5 \end{pmatrix} $

        Matriks Adjoin (transpose dari matriks kofaktor):
        $ \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ -8 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & -5 \end{pmatrix} $

    4.  Hitung invers matriks A (A⁻¹ = 1/det(A) * adj(A)):
        $ A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ -8 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/9 & 4/9 & -2/9 \\ 8/9 & -5/9 & -2/9 \\ -2/9 & -1/9 & 5/9 \end{pmatrix} $

    5.  Hitung X = A⁻¹B:
        $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/9 & 4/9 & -2/9 \\ 8/9 & -5/9 & -2/9 \\ -2/9 & -1/9 & 5/9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 820000 \\ 800000 \\ 650000 \end{pmatrix} $

        x = (-1/9)*820000 + (4/9)*800000 + (-2/9)*650000
        x = (-820000 + 3200000 - 1300000) / 9
        x = 1080000 / 9
        x = 120000

        y = (8/9)*820000 + (-5/9)*800000 + (-2/9)*650000
        y = (6560000 - 4000000 - 1300000) / 9
        y = 1260000 / 9
        y = 140000

        z = (-2/9)*820000 + (-1/9)*800000 + (5/9)*650000
        z = (-1640000 - 800000 + 3250000) / 9
        z = 810000 / 9
        z = 90000

    Jadi, harga tiap potong pakaian adalah:
Harga kemeja (x) = Rp 120.000,00
Harga celana (y) = Rp 140.000,00
Harga kaus (z) = Rp 90.000,00