Garis-garis 2x + 3y + 4 = 0, 3x - 2y = -6, 2x + 3y = 22,

Segi empat tersebut adalah trapesium. Kelilingnya adalah (67*sqrt(13) + sqrt(18421))/12 unit.

Pembahasan

Pertama, mari kita identifikasi jenis segi empat yang dibentuk oleh garis-garis yang diberikan:

Garis 1: 2x + 3y + 4 = 0  (Gradien m1 = -2/3)
Garis 2: 3x - 2y = -6  (Gradien m2 = 3/2)
Garis 3: 2x + 3y = 22  (Gradien m3 = -2/3)
Garis 4: 10x + 3y - 52 = 0 (Gradien m4 = -10/3)

Perhatikan bahwa gradien Garis 1 (m1) sama dengan gradien Garis 3 (m3), yaitu -2/3. Ini menunjukkan bahwa Garis 1 sejajar dengan Garis 3.
Selanjutnya, kita periksa hubungan antara Garis 2 dan Garis 4. Gradien Garis 2 (m2) adalah 3/2, dan gradien Garis 4 (m4) adalah -10/3. Tidak ada hubungan sejajar atau tegak lurus yang jelas antara Garis 2 dan Garis 4.

Karena ada sepasang sisi yang sejajar (Garis 1 dan Garis 3), bangun segi empat ini adalah sebuah trapesium.

Sekarang, kita hitung keliling trapesium tersebut. Keliling adalah jumlah panjang keempat sisinya. Kita perlu mencari titik potong antara garis-garis tersebut untuk menentukan panjang sisi-sisinya.

Titik potong antara Garis 1 (2x + 3y = -4) dan Garis 2 (3x - 2y = -6):
Kalikan Garis 1 dengan 2: 4x + 6y = -8
Kalikan Garis 2 dengan 3: 9x - 6y = -18
Jumlahkan kedua persamaan: 13x = -26 => x = -2
Substitusikan x = -2 ke Garis 1: 2(-2) + 3y = -4 => -4 + 3y = -4 => 3y = 0 => y = 0
Titik potong A: (-2, 0)

Titik potong antara Garis 2 (3x - 2y = -6) dan Garis 3 (2x + 3y = 22):
Kalikan Garis 2 dengan 3: 9x - 6y = -18
Kalikan Garis 3 dengan 2: 4x + 6y = 44
Jumlahkan kedua persamaan: 13x = 26 => x = 2
Substitusikan x = 2 ke Garis 3: 2(2) + 3y = 22 => 4 + 3y = 22 => 3y = 18 => y = 6
Titik potong B: (2, 6)

Titik potong antara Garis 3 (2x + 3y = 22) dan Garis 4 (10x + 3y = 52):
Kurangkan Garis 3 dari Garis 4: (10x + 3y) - (2x + 3y) = 52 - 22 => 8x = 30 => x = 30/8 = 15/4
Substitusikan x = 15/4 ke Garis 3: 2(15/4) + 3y = 22 => 15/2 + 3y = 22 => 3y = 22 - 15/2 => 3y = (44 - 15)/2 => 3y = 29/2 => y = 29/6
Titik potong C: (15/4, 29/6)

Titik potong antara Garis 4 (10x + 3y = 52) dan Garis 1 (2x + 3y = -4):
Kurangkan Garis 1 dari Garis 4: (10x + 3y) - (2x + 3y) = 52 - (-4) => 8x = 56 => x = 7
Substitusikan x = 7 ke Garis 1: 2(7) + 3y = -4 => 14 + 3y = -4 => 3y = -18 => y = -6
Titik potong D: (7, -6)

Sekarang hitung panjang sisi-sisinya menggunakan rumus jarak antara dua titik (sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)):
Panjang sisi AB (antara (-2, 0) dan (2, 6)):
sqrt((2 - (-2))^2 + (6 - 0)^2) = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16 + 36) = sqrt(52) = 2*sqrt(13)

Panjang sisi BC (antara (2, 6) dan (15/4, 29/6)):
sqrt((15/4 - 2)^2 + (29/6 - 6)^2) = sqrt((15/4 - 8/4)^2 + (29/6 - 36/6)^2)
= sqrt((7/4)^2 + (-7/6)^2) = sqrt(49/16 + 49/36)
= sqrt(49 * (1/16 + 1/36)) = 7 * sqrt((9+4)/144) = 7 * sqrt(13/144) = 7/12 * sqrt(13)

Panjang sisi CD (antara (15/4, 29/6) dan (7, -6)):
sqrt((7 - 15/4)^2 + (-6 - 29/6)^2) = sqrt((28/4 - 15/4)^2 + (-36/6 - 29/6)^2)
= sqrt((13/4)^2 + (-65/6)^2) = sqrt(169/16 + 4225/36)
= sqrt(4901.5625 / 144 * 169/16 + 4225/36)
= sqrt(169/16 + 4225/36) = sqrt(3801.5625 / 144)
= sqrt((365.787...))
Mari kita periksa ulang perhitungan titik potong C dan D. Sepertinya ada kesalahan.

Mari kita periksa kembali gradien Garis 4: 10x + 3y - 52 = 0 => 3y = -10x + 52 => y = -10/3 x + 52/3. Gradiennya benar -10/3.

Perhatikan lagi bahwa Garis 1 dan Garis 3 sejajar (gradien -2/3). Ini adalah trapesium.

Mari kita hitung panjang sisi yang sejajar:
Panjang sisi yang dibentuk oleh Garis 1 dan Garis 3. Kita perlu titik potong dengan garis lain.
Kita sudah punya titik A (-2, 0) pada Garis 1 dan Garis 2.
Kita sudah punya titik B (2, 6) pada Garis 2 dan Garis 3.
Kita sudah punya titik D (7, -6) pada Garis 1 dan Garis 4.

Sisi AD dibentuk oleh Garis 1 dan Garis 4. Kita perlu mencari titik potongnya, yaitu titik D (7, -6).
Sisi BC dibentuk oleh Garis 2 dan Garis 3. Kita perlu mencari titik potongnya, yaitu titik B (2, 6).

Sisi AB adalah jarak antara titik potong Garis 1 & 2 dan Garis 2 & 3.
Titik potong Garis 1 (2x+3y+4=0) dan Garis 2 (3x-2y+6=0) adalah A(-2,0).
Titik potong Garis 2 (3x-2y+6=0) dan Garis 3 (2x+3y-22=0) adalah B(2,6).
Panjang sisi AB = sqrt((2-(-2))^2 + (6-0)^2) = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16+36) = sqrt(52) = 2*sqrt(13).

Sisi CD adalah jarak antara titik potong Garis 3 & 4 dan Garis 4 & 1.
Titik potong Garis 3 (2x+3y-22=0) dan Garis 4 (10x+3y-52=0) adalah C(15/4, 29/6).
Titik potong Garis 4 (10x+3y-52=0) dan Garis 1 (2x+3y+4=0) adalah D(7,-6).
Panjang sisi CD = sqrt((7-15/4)^2 + (-6-29/6)^2) = sqrt((13/4)^2 + (-65/6)^2) = sqrt(169/16 + 4225/36) = sqrt(1.070.0625 + 117.3611) = sqrt(1.187.4236) ... ini perhitungan yang rumit dan besar.

Mari kita cek apakah ini adalah trapesium sama kaki atau trapesium siku-siku.

Kita punya sisi sejajar 2x + 3y + 4 = 0 dan 2x + 3y - 22 = 0.
Jarak antara dua garis sejajar Ax + By + C1 = 0 dan Ax + By + C2 = 0 adalah |C1 - C2| / sqrt(A^2 + B^2).
Jarak antara Garis 1 dan Garis 3 = |4 - (-22)| / sqrt(2^2 + 3^2) = |26| / sqrt(4+9) = 26 / sqrt(13).
Ini adalah tinggi trapesium.

Sekarang kita perlu panjang sisi-sisi yang tidak sejajar.
Sisi 1 (antara Garis 1 dan Garis 2) adalah AB = 2*sqrt(13).
Sisi 2 (antara Garis 2 dan Garis 3) adalah BC. Kita perlu titik potong Garis 2 (3x-2y=-6) dan Garis 3 (2x+3y=22). Titiknya B(2,6).
Sisi 3 (antara Garis 3 dan Garis 4) adalah CD. Kita perlu titik potong Garis 3 (2x+3y=22) dan Garis 4 (10x+3y=52). Titiknya C(15/4, 29/6).
Sisi 4 (antara Garis 4 dan Garis 1) adalah DA. Kita perlu titik potong Garis 4 (10x+3y=52) dan Garis 1 (2x+3y=-4). Titiknya D(7,-6).

Panjang sisi BC = sqrt((15/4 - 2)^2 + (29/6 - 6)^2) = sqrt((7/4)^2 + (-7/6)^2) = sqrt(49/16 + 49/36) = 7*sqrt(1/16 + 1/36) = 7*sqrt((9+4)/144) = 7*sqrt(13/144) = 7/12*sqrt(13).

Panjang sisi DA = sqrt((7 - (-2))^2 + (-6 - 0)^2) = sqrt(9^2 + (-6)^2) = sqrt(81+36) = sqrt(117) = sqrt(9*13) = 3*sqrt(13).

Keliling = AB + BC + CD + DA.
Kita perlu mencari panjang CD.
C(15/4, 29/6) dan D(7, -6).
CD = sqrt((7 - 15/4)^2 + (-6 - 29/6)^2) = sqrt((13/4)^2 + (-65/6)^2) = sqrt(169/16 + 4225/36)
= sqrt(169*9/144 + 4225*4/144) = sqrt((1521 + 16900)/144) = sqrt(18421/144) = sqrt(18421)/12.

Ini perhitungan yang sangat rumit. Mungkin ada cara yang lebih sederhana atau kesalahan dalam penafsiran soal.

Jika kita asumsikan ini adalah trapesium siku-siku, kita perlu memeriksa apakah ada garis tegak lurus.
Gradien Garis 1 dan 3 = -2/3.
Gradien Garis 2 = 3/2. Gradien Garis 2 tegak lurus dengan Garis 1 dan Garis 3.
Gradien Garis 4 = -10/3.

Karena Garis 2 tegak lurus terhadap Garis 1 dan Garis 3, maka trapesium ini adalah trapesium siku-siku.
Sisi yang tegak lurus adalah sisi yang menghubungkan Garis 1 dengan Garis 2, dan Garis 3 dengan Garis 2.

Jadi, sisi-sisinya adalah:
1. Sisi sejajar: panjang dihitung antara perpotongan dengan garis lain.
   Sisi AB (antara Garis 1 & 2 dan Garis 2 & 3) adalah sisi miring.
   Sisi sejajar adalah sisi yang dibentuk oleh Garis 1 (2x+3y+4=0) dan Garis 3 (2x+3y-22=0) yang dipotong oleh Garis 2 dan Garis 4.

Panjang sisi yang sejajar (alas dan atap): Kita perlu panjang proyeksi dari sisi miring pada arah sejajar.

Mari kita fokus pada sifat trapesium siku-siku.
Sisi yang tegak lurus adalah BC dan DA (jika kita urutkan titiknya dengan benar).

Perhatikan titik potong:
A(-2, 0) - Garis 1 & 2
B(2, 6) - Garis 2 & 3
C(15/4, 29/6) - Garis 3 & 4
D(7, -6) - Garis 4 & 1

Garis 2 (3x-2y+6=0) tegak lurus Garis 1 (2x+3y+4=0) karena m2 * m1 = (3/2) * (-2/3) = -1.
Garis 2 (3x-2y+6=0) tegak lurus Garis 3 (2x+3y-22=0) karena m2 * m3 = (3/2) * (-2/3) = -1.

Ini berarti sisi yang dibentuk oleh Garis 1 dan Garis 2, serta sisi yang dibentuk oleh Garis 3 dan Garis 2 adalah sisi tegak.
Namun, titik potongnya adalah A(-2,0) untuk Garis 1&2, dan B(2,6) untuk Garis 2&3. Ini berarti sisi AB adalah salah satu sisi tegak.

Sisi sejajar adalah Garis 1 dan Garis 3.
Sisi BC dan DA adalah sisi miring.

Panjang sisi tegak AB = 2*sqrt(13).

Kita perlu panjang sisi sejajar.
Panjang sisi yang sejajar dengan Garis 1 dan Garis 3. Kita perlu proyeksi.

Ini menjadi sangat rumit jika harus menghitung keliling secara eksak dengan cara ini. Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal atau mengharapkan pendekatan yang berbeda.

Jika kita mengasumsikan bahwa garis 3x - 2y = -6 dan 10x + 3y - 52 = 0 adalah sisi tegak lurus terhadap sisi sejajar, maka ini adalah trapesium siku-siku.

Mari kita hitung panjang sisi sejajar berdasarkan proyeksi:
Kita punya titik A(-2,0) pada Garis 1.
Kita punya titik D(7,-6) pada Garis 1.
Ini adalah sisi yang dibentuk oleh Garis 4 memotong Garis 1. Panjang AD = sqrt((7-(-2))^2 + (-6-0)^2) = sqrt(9^2 + (-6)^2) = sqrt(81+36) = sqrt(117) = 3*sqrt(13).
Ini adalah salah satu sisi miring.

Kita punya titik B(2,6) pada Garis 3.
Kita punya titik C(15/4, 29/6) pada Garis 3.
Ini adalah sisi yang dibentuk oleh Garis 4 memotong Garis 3. Panjang BC = sqrt((15/4 - 2)^2 + (29/6 - 6)^2) = sqrt((7/4)^2 + (-7/6)^2) = 7/12*sqrt(13).
Ini adalah sisi miring lainnya.

Sisi sejajar adalah yang dibentuk oleh Garis 1 dan Garis 3.
Sisi yang dibentuk Garis 1 dan Garis 2 adalah titik A(-2,0) dan B(2,6). Ini adalah sisi tegak.
Sisi yang dibentuk Garis 3 dan Garis 4 adalah titik C(15/4, 29/6) dan D(7,-6). Ini adalah sisi miring.

Ada kontradiksi dalam asumsi trapesium siku-siku berdasarkan gradien dan titik potong.

Mari kita hitung ulang panjang sisi yang sejajar (antara Garis 1 dan Garis 3) dengan menggunakan proyeksi pada garis tegak (Garis 2).

Kita memiliki titik A(-2,0) dan D(7,-6) pada Garis 1.
Kita memiliki titik B(2,6) dan C(15/4, 29/6) pada Garis 3.

Sisi sejajar adalah AC dan BD (jika diurutkan dengan benar). Tapi ini bukan definisi trapesium.

Dalam trapesium, dua sisi sejajar adalah alas dan atap.
Sisi sejajar adalah Garis 1 (2x + 3y + 4 = 0) dan Garis 3 (2x + 3y - 22 = 0).

Kita perlu panjang segmen pada Garis 1 yang dibatasi oleh Garis 2 dan Garis 4.
Titik A(-2, 0) adalah perpotongan Garis 1 & 2.
Titik D(7, -6) adalah perpotongan Garis 1 & 4.
Panjang segmen pada Garis 1 adalah jarak AD = 3*sqrt(13).

Kita perlu panjang segmen pada Garis 3 yang dibatasi oleh Garis 2 dan Garis 4.
Titik B(2, 6) adalah perpotongan Garis 3 & 2.
Titik C(15/4, 29/6) adalah perpotongan Garis 3 & 4.
Panjang segmen pada Garis 3 adalah jarak BC = 7/12*sqrt(13).

Ini berarti sisi AB dan CD adalah sisi miring, dan sisi AD dan BC adalah sisi sejajar. Ini adalah terbalik dari definisi.

Jika Garis 1 dan Garis 3 adalah sisi sejajar, maka sisi lainnya adalah Garis 2 dan Garis 4.

Sisi 1: 2x + 3y + 4 = 0
Sisi 2: 3x - 2y + 6 = 0
Sisi 3: 2x + 3y - 22 = 0
Sisi 4: 10x + 3y - 52 = 0

Sisi sejajar: Sisi 1 dan Sisi 3.
Sisi lain: Sisi 2 dan Sisi 4.

Titik potong:
A = S1 & S2: (-2, 0)
B = S2 & S3: (2, 6)
C = S3 & S4: (15/4, 29/6)
D = S4 & S1: (7, -6)

Sisi sejajar adalah AD (pada Garis 1) dan BC (pada Garis 3).
Panjang AD = sqrt((7-(-2))^2 + (-6-0)^2) = sqrt(9^2 + (-6)^2) = sqrt(81+36) = sqrt(117) = 3*sqrt(13).
Panjang BC = sqrt((15/4 - 2)^2 + (29/6 - 6)^2) = sqrt((7/4)^2 + (-7/6)^2) = 7/12*sqrt(13).

Sisi lain adalah AB (antara Garis 1 & 2 dan Garis 2 & 3) dan CD (antara Garis 3 & 4 dan Garis 4 & 1).
Panjang AB = sqrt((2-(-2))^2 + (6-0)^2) = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16+36) = sqrt(52) = 2*sqrt(13).
Panjang CD = sqrt((7 - 15/4)^2 + (-6 - 29/6)^2) = sqrt((13/4)^2 + (-65/6)^2) = sqrt(169/16 + 4225/36) = sqrt(18421)/12.

Keliling = AD + BC + AB + CD
Keliling = 3*sqrt(13) + 7/12*sqrt(13) + 2*sqrt(13) + sqrt(18421)/12
Keliling = (3 + 7/12 + 2)*sqrt(13) + sqrt(18421)/12
Keliling = (5 + 7/12)*sqrt(13) + sqrt(18421)/12
Keliling = (60/12 + 7/12)*sqrt(13) + sqrt(18421)/12
Keliling = 67/12*sqrt(13) + sqrt(18421)/12.

Nilai sqrt(13) sekitar 3.605.
Keliling sekitar (67/12)*3.605 + sqrt(18421)/12
Keliling sekitar 5.583 * 3.605 + 135.72/12
Keliling sekitar 20.13 + 11.31 = 31.44.

Karena gradien Garis 2 (3/2) tegak lurus dengan Garis 1 & 3 (-2/3), maka sisi yang dibentuk oleh Garis 2 dengan Garis 1 dan Garis 3 adalah sisi tegak.
Jadi sisi AB adalah sisi tegak.

Panjang sisi sejajar:
Kita punya panjang segmen pada Garis 1 (2x+3y+4=0) yaitu AD = 3*sqrt(13).
Kita punya panjang segmen pada Garis 3 (2x+3y-22=0) yaitu BC = 7/12*sqrt(13).

Ini tidak konsisten. Sisi sejajar harus memiliki panjang yang berbeda.

Mari kita definisikan ulang sisi sejajar.
Sisi sejajar adalah yang memiliki gradien sama. Yaitu Garis 1 dan Garis 3.

Panjang sisi yang sejajar 1 (pada Garis 1) adalah jarak antara titik potong Garis 1 dengan Garis 2 (Titik A) dan titik potong Garis 1 dengan Garis 4 (Titik D).
Panjang AD = 3*sqrt(13).

Panjang sisi yang sejajar 2 (pada Garis 3) adalah jarak antara titik potong Garis 3 dengan Garis 2 (Titik B) dan titik potong Garis 3 dengan Garis 4 (Titik C).
Panjang BC = 7/12*sqrt(13).

Ini berarti alas dan atap memiliki panjang yang berbeda, yang memang benar untuk trapesium.

Sisi miringnya adalah AB (antara Garis 1&2 dan Garis 2&3) dan CD (antara Garis 3&4 dan Garis 4&1).
Panjang AB = 2*sqrt(13).
Panjang CD = sqrt(18421)/12.

Keliling = Panjang sisi sejajar 1 + Panjang sisi sejajar 2 + Panjang sisi miring 1 + Panjang sisi miring 2
Keliling = AD + BC + AB + CD
Keliling = 3*sqrt(13) + 7/12*sqrt(13) + 2*sqrt(13) + sqrt(18421)/12
Keliling = (3 + 7/12 + 2)*sqrt(13) + sqrt(18421)/12
Keliling = (5 + 7/12)*sqrt(13) + sqrt(18421)/12
Keliling = (67/12)*sqrt(13) + sqrt(18421)/12

Mari kita hitung nilai eksaknya.
sqrt(13) ≈ 3.60555
sqrt(18421) ≈ 135.723

Keliling ≈ (67/12) * 3.60555 + 135.723 / 12
Keliling ≈ 5.58333 * 3.60555 + 11.31025
Keliling ≈ 20.1319 + 11.31025
Keliling ≈ 31.442

Karena ada pasangan sisi sejajar (2x+3y+4=0 dan 2x+3y-22=0), maka bangun ini adalah trapesium. Sisi-sisinya adalah segmen garis yang dibentuk oleh perpotongan garis-garis tersebut. Keliling trapesium adalah jumlah panjang keempat sisinya.

Segi empat yang dibentuk adalah trapesium. Kelilingnya adalah (67*sqrt(13) + sqrt(18421))/12 unit.