tentukan nilai limit dari: lim _(x -> 0) (1-cos 8 x)/(x tan

16

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari lim (x -> 0) (1-cos 8x)/(x tan 2x), kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk aturan L'Hopital atau identitas trigonometri.

Menggunakan identitas trigonometri:
Kita tahu bahwa 1 - cos(2A) = 2 sin^2(A).
Maka, 1 - cos(8x) = 2 sin^2(4x).
Juga, kita tahu bahwa tan(2x) = sin(2x)/cos(2x).

Sehingga, ekspresi limit menjadi:
lim (x -> 0) (2 sin^2(4x)) / (x * (sin(2x)/cos(2x)))

lim (x -> 0) (2 sin^2(4x) * cos(2x)) / (x * sin(2x))

Kita juga tahu bahwa untuk nilai x yang mendekati 0, sin(ax) ≈ ax.
Maka, sin^2(4x) ≈ (4x)^2 = 16x^2 dan sin(2x) ≈ 2x.

Substitusikan ini ke dalam ekspresi limit:
lim (x -> 0) (2 * (16x^2) * cos(2x)) / (x * 2x)

lim (x -> 0) (32x^2 * cos(2x)) / (2x^2)

lim (x -> 0) 16 * cos(2x)

Karena cos(0) = 1, maka nilai limitnya adalah 16 * 1 = 16.

Menggunakan Aturan L'Hopital:
Karena substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital.
Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
d/dx (1 - cos 8x) = 8 sin 8x
d/dx (x tan 2x) = (1 * tan 2x) + (x * 2 sec^2(2x)) = tan 2x + 2x sec^2(2x)

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x -> 0) (8 sin 8x) / (tan 2x + 2x sec^2(2x))

Sekarang, substitusikan x=0:
(8 sin 0) / (tan 0 + 2*0*sec^2(0))
(8 * 0) / (0 + 0)
0/0

Karena masih dalam bentuk tak tentu, terapkan Aturan L'Hopital lagi:
d/dx (8 sin 8x) = 64 cos 8x
d/dx (tan 2x + 2x sec^2(2x)) = 2 sec^2(2x) + [2 sec^2(2x) + 2x * 2 sec(2x) * (sec(2x)tan(2x)) * 2]
= 2 sec^2(2x) + 2 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x)
= 4 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x)

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x -> 0) (64 cos 8x) / (4 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x))

Substitusikan x=0:
(64 cos 0) / (4 sec^2(0) + 8*0*sec^2(0)tan(0))
(64 * 1) / (4 * 1^2 + 0)
64 / 4
16