Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

Grafik fungsi f(x)=akar(3) sin x+cos x cekung ke bawah pada

Pertanyaan

Grafik fungsi f(x)=akar(3) sin x+cos x cekung ke bawah pada selang ....

Solusi

Verified

Grafik fungsi cekung ke bawah pada selang (-π/6, 5π/6).

Pembahasan

Untuk menentukan pada selang mana grafik fungsi f(x) = √3 sin x + cos x cekung ke bawah, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan kedua bernilai negatif. Langkah 1: Cari turunan pertama (f'(x)). f(x) = √3 sin x + cos x f'(x) = d/dx (√3 sin x) + d/dx (cos x) f'(x) = √3 cos x - sin x Langkah 2: Cari turunan kedua (f''(x)). f''(x) = d/dx (√3 cos x) - d/dx (sin x) f''(x) = -√3 sin x - cos x Langkah 3: Tentukan di mana f''(x) < 0 (cekung ke bawah). -√3 sin x - cos x < 0 -√3 sin x < cos x Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita bisa membaginya dengan cos x. Namun, kita perlu memperhatikan tanda cos x. Metode Alternatif: Mengubah bentuk fungsi. Kita bisa menulis f(x) dalam bentuk R sin(x + α) atau R cos(x - α). Untuk f(x) = √3 sin x + cos x, kita bisa gunakan bentuk R cos(x - α) = R(cos x cos α + sin x sin α). Bandingkan koefisien: √3 = R sin α 1 = R cos α Kuadratkan dan jumlahkan: (√3)² + 1² = R² sin² α + R² cos² α 3 + 1 = R² (sin² α + cos² α) 4 = R² * 1 R = 2 Bagi persamaan sin α dengan cos α: (R sin α) / (R cos α) = √3 / 1 tan α = √3 α = π/3 (atau 60°) Jadi, f(x) = 2 cos(x - π/3). Sekarang cari turunan kedua dari bentuk ini: f'(x) = -2 sin(x - π/3) f''(x) = -2 cos(x - π/3) Langkah 4: Tentukan di mana f''(x) < 0. -2 cos(x - π/3) < 0 cos(x - π/3) > 0 Fungsi cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. Misalkan θ = x - π/3. Maka, cos θ > 0. Ini terjadi ketika: -π/2 + 2kπ < θ < π/2 + 2kπ, untuk k bilangan bulat. Gantikan θ dengan x - π/3: -π/2 + 2kπ < x - π/3 < π/2 + 2kπ Tambahkan π/3 ke semua bagian: -π/2 + π/3 + 2kπ < x < π/2 + π/3 + 2kπ Hitung batas bawah: -π/2 + π/3 = -3π/6 + 2π/6 = -π/6 Hitung batas atas: π/2 + π/3 = 3π/6 + 2π/6 = 5π/6 Jadi, grafik fungsi cekung ke bawah ketika: -π/6 + 2kπ < x < 5π/6 + 2kπ Jika kita mencari satu selang tanpa penambahan 2kπ (biasanya untuk selang utama dalam satu periode): Selang utama untuk cos θ > 0 adalah ketika θ berada di antara -π/2 dan π/2. -π/2 < x - π/3 < π/2 -π/2 + π/3 < x < π/2 + π/3 -π/6 < x < 5π/6 Jadi, grafik fungsi f(x) = √3 sin x + cos x cekung ke bawah pada selang (-π/6, 5π/6).

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Turunan Fungsi Trigonometri
Section: Kecekungan Fungsi

Apakah jawaban ini membantu?