gunakan induksi matematika untuk membuktikan setiap formula

Terbukti benar menggunakan induksi matematika dengan basis induksi (n=1) dan langkah induksi.

Pembahasan

Untuk membuktikan formula 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/n^2 <= 2-1/n menggunakan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah utama: basis induksi dan langkah induksi.

**Basis Induksi:**
Kita perlu membuktikan bahwa formula tersebut berlaku untuk n=1.
Untuk n=1, sisi kiri adalah 1/1^2 = 1.
Sisi kanan adalah 2 - 1/1 = 2 - 1 = 1.
Karena 1 <= 1, maka formula tersebut berlaku untuk n=1.

**Langkah Induksi:**
Asumsikan bahwa formula tersebut berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 <= 2 - 1/k

Selanjutnya, kita perlu membuktikan bahwa formula tersebut juga berlaku untuk n=k+1:
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 + 1/(k+1)^2 <= 2 - 1/(k+1)

Dari asumsi langkah induksi, kita tahu bahwa:
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 <= 2 - 1/k

Tambahkan 1/(k+1)^2 ke kedua sisi:
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 + 1/(k+1)^2 <= (2 - 1/k) + 1/(k+1)^2

Sekarang, kita perlu menunjukkan bahwa (2 - 1/k) + 1/(k+1)^2 <= 2 - 1/(k+1).
Ini setara dengan menunjukkan bahwa:
-1/k + 1/(k+1)^2 <= -1/(k+1)

Kalikan kedua sisi dengan -1 (dan balikkan tanda ketidaksetaraan):
1/k - 1/(k+1)^2 >= 1/(k+1)

Samakan penyebut di sisi kiri:
[(k+1)^2 - k] / [k(k+1)^2] >= 1/(k+1)

(k^2 + 2k + 1 - k) / [k(k+1)^2] >= 1/(k+1)

(k^2 + k + 1) / [k(k+1)^2] >= 1/(k+1)

Kalikan kedua sisi dengan k(k+1)^2 (karena k adalah bilangan asli, maka k(k+1)^2 positif):
k^2 + k + 1 >= k(k+1)

k^2 + k + 1 >= k^2 + k

1 >= 0

Karena 1 >= 0 adalah pernyataan yang benar, maka langkah induksi terbukti.

**Kesimpulan:**
Berdasarkan prinsip induksi matematika, formula 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/n^2 <= 2-1/n berlaku untuk setiap bilangan asli n.