Gunakan prinsip induksi Matematika untuk membuktikan bahwa

Rumus terbukti benar menggunakan basis induksi (n=1) dan langkah induktif (mengasumsikan benar untuk k dan membuktikan untuk k+1).

Pembahasan

Untuk membuktikan rumus 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = (n(3n - 1))/2 menggunakan induksi matematika, kita perlu mengikuti dua langkah utama:

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Kita perlu menunjukkan bahwa rumus tersebut benar untuk kasus terkecil, yaitu n=1.
Sisi kiri: Jumlah suku pertama = 3(1) - 2 = 1.
Sisi kanan: (1 * (3*1 - 1)) / 2 = (1 * (3 - 1)) / 2 = (1 * 2) / 2 = 2 / 2 = 1.
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1 = 1), rumus tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Langkah Induktif
Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk suatu bilangan asli k (Hipotesis Induksi).
Artinya, kita asumsikan bahwa: 1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) = (k(3k - 1))/2

Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk k+1.
Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa: 1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) + (3(k+1) - 2) = ((k+1)(3(k+1) - 1))/2

Mari kita mulai dari sisi kiri dan gunakan hipotesis induksi:
Sisi kiri = [1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2)] + (3(k+1) - 2)
Menurut hipotesis induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung siku:
Sisi kiri = (k(3k - 1))/2 + (3(k+1) - 2)
Sisi kiri = (k(3k - 1))/2 + (3k + 3 - 2)
Sisi kiri = (k(3k - 1))/2 + (3k + 1)

Sekarang, samakan penyebutnya:
Sisi kiri = (k(3k - 1))/2 + (2(3k + 1))/2
Sisi kiri = (3k^2 - k + 6k + 2) / 2
Sisi kiri = (3k^2 + 5k + 2) / 2

Sekarang, mari kita faktorkan pembilangnya (3k^2 + 5k + 2).
Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 3*2=6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3.
3k^2 + 3k + 2k + 2
k(3k + 3) + 1(2k + 2)
3k(k + 1) + 2(k + 1)
(3k + 2)(k + 1)

Jadi, sisi kiri menjadi: ((k+1)(3k + 2))/2

Sekarang, mari kita lihat sisi kanan dari rumus yang ingin kita buktikan untuk k+1:
Sisi kanan = ((k+1)(3(k+1) - 1))/2
Sisi kanan = ((k+1)(3k + 3 - 1))/2
Sisi kanan = ((k+1)(3k + 2))/2

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, yaitu ((k+1)(3k + 2))/2, maka rumus tersebut terbukti benar untuk k+1.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, rumus 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = (n(3n - 1))/2 benar untuk sembarang bilangan asli n.