Gunakan teorema apit untuk menghitung limit: lim x->((1-cos

0

Pembahasan

Untuk menghitung limit \(\lim_{x \to 0} \sin(x) \sin(\frac{1}{x})\) menggunakan teorema apit (squeeze theorem), kita perlu mencari dua fungsi \(g(x)\) dan \(h(x)\) sedemikian rupa sehingga \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) untuk semua \(x\) di sekitar titik limit, dan \(\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L\), maka \(\lim_{x \to c} f(x) = L\).

Dalam kasus ini, \(f(x) = (1 - \cos x) \sin(\frac{1}{x})\) dan kita akan menghitung limit saat \(x \to 0\).

Kita tahu bahwa nilai dari \(\sin(\frac{1}{x})\) selalu berada di antara -1 dan 1, yaitu:
\(-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1\)

Sekarang, kita kalikan semua bagian ketidaksamaan ini dengan \((1 - \cos x)\). Perlu diperhatikan bahwa untuk \(x \neq 0\), \(\cos x \leq 1\), sehingga \(1 - \cos x \geq 0\). Oleh karena itu, arah ketidaksamaan tidak berubah.

\(-(1 - \cos x) \leq (1 - \cos x) \sin(\frac{1}{x}) \leq (1 - \cos x)\)

Sekarang, kita akan mengevaluasi limit dari fungsi batas bawah dan batas atas saat \(x \to 0\).

Limit dari fungsi batas bawah:
\(\lim_{x \to 0} -(1 - \cos x)\)
Kita tahu bahwa \(\lim_{x \to 0} \cos x = \cos(0) = 1\).
Maka,
\(\lim_{x \to 0} -(1 - \cos x) = -(1 - 1) = -0 = 0\)

Limit dari fungsi batas atas:
\(\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)\)
Menggunakan hasil yang sama:
\(\lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 1 - 1 = 0\)

Karena \(\lim_{x \to 0} -(1 - \cos x) = 0\) dan \(\lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 0\), dan \(-(1 - \cos x) \leq (1 - \cos x) \sin(\frac{1}{x}) \leq (1 - \cos x)\) untuk \(x \neq 0\) di sekitar 0, maka berdasarkan teorema apit:

\(\lim_{x \to 0} (1 - \cos x) \sin(\frac{1}{x}) = 0\)

Jadi, hasil limitnya adalah 0.