Hasil dari 5log akar(8) . 2 log 27 . 1/3 log 1/125 adalah

27/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma. Soal tersebut adalah: 5log akar(8) . 2 log 27 . 1/3 log 1/125.  Pertama, kita ubah bentuk akar dan pecahan menjadi bentuk pangkat: akar(8) = 8^(1/2) = (2^3)^(1/2) = 2^(3/2).  1/125 = 125^(-1) = (5^3)^(-1) = 5^(-3).  Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam soal: 5log (2^(3/2)) . 2 log (3^3) . 1/3 log (5^(-3)).  Menggunakan sifat logaritma n log(a^m) = n * m log(a) dan a log(a) = 1:  Kita perlu menyesuaikan basis logaritma agar bisa disederhanakan. Namun, basis logaritma yang ada (5, 2, 1/3) berbeda-beda, dan argumennya juga berbeda. Mari kita coba ubah argumen dan basis agar ada kesamaan.  Ini tampaknya bukan soal yang bisa diselesaikan dengan sifat-sifat logaritma standar karena basis dan argumennya tidak memungkinkan penyederhanaan langsung.  Mungkin ada kesalahan dalam penulisan soal atau maksud soalnya.  Namun, jika kita asumsikan ada kesalahan penulisan dan soalnya dimaksudkan untuk dapat diselesaikan, mari kita coba pendekatan lain.  Misalkan: A = 5log akar(8), B = 2 log 27, C = 1/3 log 1/125.  Soal meminta A * B * C.  Mari kita periksa kembali sifat logaritma: log_b(a^m) = m log_b(a), log_b(b) = 1, log_{b^n}(a) = 1/n log_b(a).  Kita punya:  5log(8^(1/2)) = 5log((2^3)^(1/2)) = 5log(2^(3/2)) = (3/2) * 5log(2).  2 log(27) = 2 log(3^3) = 2 * 3 log(2) = 6 log(2).  1/3 log(1/125) = 1/3 log(5^(-3)) = 1/3 * (-3) log(5) = -1 log(5).  Hasilnya adalah: (3/2) * 5log(2) * 6 log(2) * (-1) log(5).  Ini masih belum bisa diselesaikan karena ada basis 5 dan 2 yang berbeda.  Jika soalnya adalah log_5(8) * log_2(27) * log_{1/3}(1/125).  Kita ubah basisnya menjadi basis 10 atau e. Atau kita coba ubah argumen dan basisnya.  8 = 2^3, 27 = 3^3, 125 = 5^3.  5log(2^(3/2)) * 2log(3^3) * (1/3)log(5^(-3)).  = (3/2) * 5log(2) * 3 * 2log(3) * (1/3) * (-3) * (1/3)log(5).  = (3/2) * 5log(2) * 6log(3) * (-1) * (1/3)log(5).  = (3/2) * 5log(2) * 6log(3) * (-1/3)log(5).  Sepertinya soal ini mengandung kesalahan penulisan atau memang tidak dapat diselesaikan dengan cara standar.  Namun, jika kita mengasumsikan ada perubahan basis atau hubungan antar angka yang belum terlihat.  Mari kita coba ubah basis menjadi basis yang sama jika memungkinkan.  Misalnya, kita ingin mengubah semua basis menjadi logaritma dengan basis yang sama, misalnya basis 10 (log).  5log(2^(3/2)) = log(2^(3/2)) / log(5) = (3/2) log(2) / log(5).  2log(3^3) = 2 * 3 log(3) = 6 log(3).  1/3 log(5^(-3)) = (1/3) * (-3) log(5) = -1 log(5).  Maka hasil perkaliannya adalah: [(3/2) log(2) / log(5)] * [6 log(3)] * [-1 log(5)].  = (3/2) * 6 * (-1) * log(2) * log(3) * (log(5) / log(5)).  = -9 * log(2) * log(3).  Ini juga bukan bentuk angka sederhana.  Kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan.  Namun, jika kita melihat angka-angkanya, ada potensi penggunaan sifat perubahan basis dan penyederhanaan jika basis dan argumennya terkait.  Misalkan kita coba ubah semua basis ke basis yang sama.  Misalnya basis 2.  5log(2^(3/2)) = (3/2) * 5log(2).  Ini tidak membantu.  Bagaimana jika soalnya adalah log_5(8) * log_8(27) * log_{27}(125)?  Maka dengan sifat log_a(b) * log_b(c) = log_a(c), maka: log_5(8) * log_8(27) * log_{27}(125) = log_5(125) = log_5(5^3) = 3.  Ini adalah jawaban yang masuk akal jika soalnya seperti itu.  Namun, dengan soal yang tertulis: 5log akar(8) . 2 log 27 . 1/3 log 1/125.  Mari kita coba menginterpretasikan 5log sebagai logaritma basis 5, 2log sebagai logaritma basis 2, dan 1/3 log sebagai logaritma basis 1/3.  Maka: log_5(8^(1/2)) * log_2(27) * log_{1/3}(1/125).  = log_5(2^(3/2)) * log_2(3^3) * log_{1/3}(5^(-3)).  = (3/2) log_5(2) * 3 log_2(3) * (-3) log_{1/3}(5).  = (3/2) * 3 * (-3) * log_5(2) * log_2(3) * log_{1/3}(5).  = -27/2 * log_5(2) * log_2(3) * log_{1/3}(5).  Menggunakan log_a(b) * log_b(c) = log_a(c):  log_5(2) * log_2(3) = log_5(3).  Maka: -27/2 * log_5(3) * log_{1/3}(5).  Menggunakan log_a(b) = 1 / log_b(a) dan log_{1/b}(a) = -log_b(a):  log_{1/3}(5) = -log_3(5).  Maka: -27/2 * log_5(3) * (-log_3(5)).  = 27/2 * log_5(3) * log_3(5).  Menggunakan log_a(b) * log_b(a) = 1:  log_5(3) * log_3(5) = 1.  Maka hasil akhirnya adalah 27/2.  Jadi, hasil dari 5log akar(8) . 2 log 27 . 1/3 log 1/125 adalah 27/2.