Himpunan penyelesaian pertidaksamaan |x^2-2|-6+2x<0 adalah

Himpunan penyelesaiannya adalah (-4, 2).

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan |x² - 2| - 6 + 2x < 0.
Pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang menjadi |x² - 2| < 6 - 2x.
Agar pertidaksamaan ini memiliki solusi, maka ruas kanan harus positif: 6 - 2x > 0 => 6 > 2x => 3 > x.
Sekarang kita pecah menjadi dua kasus:
Kasus 1: x² - 2 ≥ 0 (yaitu, x ≤ -√2 atau x ≥ √2)
x² - 2 < 6 - 2x
x² + 2x - 8 < 0
(x + 4)(x - 2) < 0
Ini berlaku untuk -4 < x < 2.
Karena kita harus memenuhi kondisi x ≤ -√2 atau x ≥ √2, maka irisannya adalah -4 < x ≤ -√2 atau √2 ≤ x < 2.

Kasus 2: x² - 2 < 0 (yaitu, -√2 < x < √2)
-(x² - 2) < 6 - 2x
-x² + 2 < 6 - 2x
0 < x² - 2x + 4
Untuk memeriksa akar dari x² - 2x + 4 = 0, kita gunakan diskriminan: Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12. Karena diskriminan negatif dan koefisien x² positif, maka x² - 2x + 4 selalu positif untuk semua x.
Jadi, dalam kasus ini, solusinya adalah semua x yang memenuhi -√2 < x < √2, yang juga harus memenuhi syarat awal 3 > x.
Irisannya adalah -√2 < x < √2.

Menggabungkan solusi dari kedua kasus dan syarat awal (x < 3):
Dari Kasus 1: -4 < x ≤ -√2 atau √2 ≤ x < 2.
Dari Kasus 2: -√2 < x < √2.
Gabungan kedua kasus adalah -4 < x < 2.
Karena kita juga punya syarat x < 3, maka himpunan penyelesaian akhirnya adalah -4 < x < 2.