Hasil dari integral (6x^2-4x) akar(x^3-x^2-1) dx =

\(\frac{4}{3} (x^3-x^2-1)^{3/2} + C\)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \(\int (6x^2-4x) \sqrt{x^3-x^2-1} dx\), kita bisa menggunakan metode substitusi.

Perhatikan bahwa turunan dari ekspresi di dalam akar, \(x^3-x^2-1\), adalah \(3x^2-2x\). Bentuk ini sangat mirip dengan \(6x^2-4x\) yang ada di luar akar.

Misalkan \(u = x^3-x^2-1\).
Maka, turunannya adalah \(du = (3x^2-2x) dx\).

Kita dapat melihat bahwa \(6x^2-4x\) adalah \(2(3x^2-2x)\). Jadi, kita bisa menulis \((6x^2-4x) dx\) sebagai \(2 du\).

Sekarang, substitusikan \(u\) dan \(du\) ke dalam integral:
\(\int (6x^2-4x) \sqrt{x^3-x^2-1} dx = \int \sqrt{u} (2 du)\)
\(= 2 \int u^{1/2} du\)

Sekarang kita integralkan \(u^{1/2}\):
\(2 \cdot \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C\)
\(= 2 \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C\)
\(= 2 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C\)
\(= \frac{4}{3} u^{3/2} + C\)

Terakhir, substitusikan kembali \(u = x^3-x^2-1\):
\(\frac{4}{3} (x^3-x^2-1)^{3/2} + C\)