Hasil Iimx->0 ((COS2X-cos 6x )/(Xtan 4x )) adalah

Hasil limitnya adalah 4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to0} \frac{\cos 2x - \cos 6x}{x \tan 4x}$, kita dapat menggunakan beberapa metode:

**Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hôpital**
Karena jika kita substitusi $x=0$ akan menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa gunakan aturan L'Hôpital.
Turunan dari pembilang: $\frac{d}{dx}(\cos 2x - \cos 6x) = -2\sin 2x - (-6\sin 6x) = 6\sin 6x - 2\sin 2x$
Turunan dari penyebut: $\frac{d}{dx}(x \tan 4x) = 1 \cdot \tan 4x + x \cdot (4\sec^2 4x) = \tan 4x + 4x\sec^2 4x$

Maka, limitnya menjadi $\lim_{x\to0} \frac{6\sin 6x - 2\sin 2x}{\tan 4x + 4x\sec^2 4x}$. Substitusi $x=0$ lagi masih menghasilkan $\frac{0}{0}$, jadi kita gunakan L'Hôpital lagi.
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(6\sin 6x - 2\sin 2x) = 36\cos 6x - 4\cos 2x$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(\tan 4x + 4x\sec^2 4x) = 4\sec^2 4x + (4\sec^2 4x + 4x \cdot 2\sec 4x \cdot (4\sec 4x \tan 4x)) = 8\sec^2 4x + 32x\sec^2 4x \tan 4x$

Mengambil limitnya:
$\frac{36\cos 0 - 4\cos 0}{8\sec^2 0 + 0} = \frac{36(1) - 4(1)}{8(1)^2} = \frac{32}{8} = 4$

**Metode 2: Menggunakan Identitas Trigonometri dan Limit Standar**
Gunakan identitas $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$:
$\cos 2x - \cos 6x = -2\sin\left(\frac{2x+6x}{2}\right)\sin\left(\frac{2x-6x}{2}\right) = -2\sin(4x)\sin(-2x) = 2\sin(4x)\sin(2x)$

Juga gunakan $\tan 4x = \frac{\sin 4x}{\cos 4x}$.

Maka, limitnya menjadi $\lim_{x\to0} \frac{2\sin 4x \sin 2x}{x \frac{\sin 4x}{\cos 4x}} = \
\lim_{x\to0} \frac{2\sin 4x \sin 2x \cos 4x}{x \sin 4x}$

Kita tahu $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$ dan $\lim_{u\to0} \cos u = 1$. Pisahkan limitnya:
$\lim_{x\to0} 2 \cdot \frac{\sin 4x}{x} \cdot \sin 2x \cdot \frac{\cos 4x}{\sin 4x}$

Untuk $\frac{\sin 4x}{x}$, kita bisa kalikan dan bagi dengan 4: $4 \cdot \frac{\sin 4x}{4x}$. Limitnya adalah $4 \cdot 1 = 4$.
Untuk $\sin 2x$, limitnya adalah 0.
Untuk $\frac{\cos 4x}{\sin 4x}$, ini tidak langsung menuju 1 atau 0.

Mari kita susun ulang:
$\lim_{x\to0} \frac{2 \sin 4x \sin 2x \cos 4x}{x \sin 4x} = \lim_{x\to0} 2 \cdot \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 \cdot \frac{\sin 2x}{1} \cdot \frac{\cos 4x}{\sin 4x}$

Sepertinya ada kesalahan dalam penataan ulang atau pemahaman. Mari kita gunakan limit standar $\lim_{u\to0} \frac{\tan u}{u} = 1$ dan $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

$\lim_{x\to0} \frac{\cos 2x - \cos 6x}{x \tan 4x} = \lim_{x\to0} \frac{2\sin 4x \sin 2x}{x \tan 4x}$

Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$:
$\lim_{x\to0} \frac{2 \frac{\sin 4x}{x} \sin 2x}{\frac{\tan 4x}{x}} = \lim_{x\to0} \frac{2 \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 \cdot \sin 2x}{\frac{\tan 4x}{4x} \cdot 4}$

Substitusi nilai limit $\frac{\sin u}{u} \to 1$ dan $\frac{\tan u}{u} \to 1$:
$\frac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 0}{1 \cdot 4} = \frac{0}{4} = 0$. Ini juga salah.

Kembali ke bentuk awal dan gunakan identitas $\sin u \approx u$ dan $\tan u \approx u$ untuk $u$ kecil:
$\lim_{x\to0} \frac{2\sin 4x \sin 2x}{x \tan 4x} \approx \lim_{x\to0} \frac{2(4x)(2x)}{x(4x)} = \lim_{x\to0} \frac{16x^2}{4x^2} = 4$

Jadi, hasil limitnya adalah 4.