Hasil yang memenuhi integral 0 1 4x(x-2)^5 dx adalah ....

Hasil integral $\int_{0}^{1} 4x(x-2)^5 dx$ adalah $-\frac{80}{7}$ menggunakan metode substitusi.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu $\int_{0}^{1} 4x(x-2)^5 dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi atau integrasi parsial. Menggunakan metode substitusi:
Misalkan $u = x-2$, maka $du = dx$. Juga, $x = u+2$.
Batas integrasi juga perlu diubah:
Ketika $x=0$, $u = 0-2 = -2$.
Ketika $x=1$, $u = 1-2 = -1$.

Integral menjadi:
$\int_{-2}^{-1} 4(u+2) u^5 du$
$= \int_{-2}^{-1} 4(u^6 + 2u^5) du$
$= 4 \int_{-2}^{-1} (u^6 + 2u^5) du$

Sekarang, kita integralkan terhadap $u$:
$= 4 \left[ \frac{u^7}{7} + \frac{2u^6}{6} \right]_{-2}^{-1}$
$= 4 \left[ \frac{u^7}{7} + \frac{u^6}{3} \right]_{-2}^{-1}$

Evaluasi batas atas dan bawah:
$= 4 \left[ \left( \frac{(-1)^7}{7} + \frac{(-1)^6}{3} \right) - \left( \frac{(-2)^7}{7} + \frac{(-2)^6}{3} \right) \right]$
$= 4 \left[ \left( \frac{-1}{7} + \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{-128}{7} + \frac{64}{3} \right) \right]$
$= 4 \left[ \left( \frac{-3+7}{21} \right) - \left( \frac{-384+448}{21} \right) \right]$
$= 4 \left[ \frac{4}{21} - \frac{64}{21} \right]$
$= 4 \left[ \frac{-60}{21} \right]$
$= \frac{-240}{21}$

Sederhanakan pecahan:
$= \frac{-80}{7}$

Jadi, hasil integralnya adalah $-rac{80}{7}$.