Himpunan akar penyelesaian dari persamaan 3x^3-5x^2-26x-8=0

{-2, -1/3, 4}

Pembahasan

Untuk mencari himpunan akar penyelesaian dari persamaan polinomial 3x^3 - 5x^2 - 26x - 8 = 0, kita bisa mencoba menggunakan Teorema Faktor atau metode Horner. Jika P(x) = 3x^3 - 5x^2 - 26x - 8, kita mencari nilai x yang membuat P(x) = 0.

Mari kita coba beberapa nilai bulat yang merupakan faktor dari konstanta (-8) dibagi dengan faktor dari koefisien utama (3). Faktor dari -8 adalah ±1, ±2, ±4, ±8. Faktor dari 3 adalah ±1, ±3.

Kemungkinan akar rasional adalah ±1, ±2, ±4, ±8, ±1/3, ±2/3, ±4/3, ±8/3.

Coba x = -2:
P(-2) = 3(-2)^3 - 5(-2)^2 - 26(-2) - 8
P(-2) = 3(-8) - 5(4) + 52 - 8
P(-2) = -24 - 20 + 52 - 8
P(-2) = -44 + 52 - 8
P(-2) = 8 - 8 = 0
Jadi, x = -2 adalah salah satu akar.

Karena x = -2 adalah akar, maka (x + 2) adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita bisa melakukan pembagian polinomial atau metode Horner untuk mencari faktor lainnya.

Menggunakan metode Horner dengan pembagi -2:
   3   -5   -26   -8
-2 |     -6    22    8
   -----------------
     3  -11    -4    0

Hasil bagi adalah 3x^2 - 11x - 4. Sekarang kita cari akar dari persamaan kuadrat 3x^2 - 11x - 4 = 0.
Kita bisa memfaktorkan atau menggunakan rumus kuadrat.
Faktorisasi:
(3x + 1)(x - 4) = 0
Ini memberikan dua akar:
3x + 1 = 0  => 3x = -1 => x = -1/3
x - 4 = 0   => x = 4

Jadi, akar-akar dari persamaan 3x^3 - 5x^2 - 26x - 8 = 0 adalah -2, -1/3, dan 4.
Himpunan akar penyelesaiannya adalah {-2, -1/3, 4}. Ini sesuai dengan pilihan C.